Время одного оборота по окружности
Период обращения T — сколько секунд уходит на один полный круг, после которого точка снова в том же месте с тем же направлением скорости. Равномерное движение: модуль v постоянна, r постоянна, ω постоянна. Тогда T одно и то же от оборота к обороту. Это не время по дуге сорок градусов и не длительность разгона вала. По смыслу «сколько времени на круг» это кинематика; круговые соседи собраны в кластере вращения.
Модель: окружность, без спирали, без выезда на прямую, без качания на нити. Планета по грубой круговой картине тоже имеет период года, но эта страница не решает задачу двух тел и не спрашивает массу: вы уже должны знать ω или v и r. Если известны только длина нити и g, вам нужен маятник, не оборот по окружности.
Частота n = 1 / T — сколько оборотов в секунду — в полях не живёт, о ней ниже отдельно. Путать n с ω — типичный пропуск множителя 2π: «ω = 1 / T» даёт не радианы в секунду оборота, а как раз n. Формула страницы держит 2π явно.
T = 2π / ω
T = 2π / ω
За период точка набирает угол 2π радиан. При постоянной ω время T = 2π / ω. Больше угловая скорость — короче период. ω = 2 рад/с даёт T = π с ≈ 3,14 с. Обратный ход: ω = 2π / T. При T = 1 с угловая скорость 2π рад/с ≈ 6,28 рад/с: как раз один оборот за секунду. Нулевая ω периода не имеет: деление на ноль, точка не бежит по кругу.
Радиан обязателен. Если в условии «90 градусов в секунду», это π/2 рад/с, период 4 с, не «2π / 90». Обороты в минуту: n_об = 60 / T, когда T в секундах; или T = 60 / n_об. Перевод в ω: умножить обороты в секунду на 2π. Поля «об/мин» здесь нет, вводите уже рад/с или сразу T. Чтобы найти T, достаточно ω. Радиус не нужен, пока не спрашиваете линейную скорость.
Связь v = 2π r / T
v = 2π r / T
За один оборот точка пробегает длину окружности 2π r. Делите на период — линейная скорость. Отсюда T = 2π r / v и r = v T / (2π). Пример из проверки: T = 2 с, r = 10 м → v = 20π / 2 = 10π ≈ 31,4 м/с. Обратный ход по этой v и T = 2 с возвращает 10 м. Это та же физика, что v = ω r, потому что ω = 2π / T.
Средняя скорость как путь за время на прямой не знает радиуса: там путь любой формы. Здесь путь за период жёстко 2π r. Не подставляйте хорду или диаметр вместо длины окружности. Центростремительное ускорение после этого считается как v² / r или 4π² r / T²: период сам по себе a_c не заменяет, но через v или ω связан. Сила к центру — m v² / r, когда появится масса; для самого T масса не нужна.
Искомое T из v и r этой страницей берётся не как отдельная кнопка «только v и r → T» в отрыве от ω: кинематически T = 2π r / v. Если ввели только ω, радиус для T не требуется. Не пытайтесь из одних T и ω получить r: радиус из периода без линейной скорости не следует.
Не период математического маятника
Нитяной маятник качается по дуге туда-сюда, не бежит кругами с постоянным модулем v. Формула T = 2π √(L / g) при малых углах. Длина и свободное падение, массы снова нет, но по другой причине: отношение возвращающей силы к инерции. Подставить L вместо r в 2π r / v или g вместо ω — бессмысленно. Совпадение чисел бывает: L = 2,45 м при g = 9,8 м/с² даёт T ≈ π с, и ω = 2 рад/с на окружности тоже даёт T = π с. Одинаковые секунды, разные механизмы, разные поля калькулятора.
Конический маятник и шарик на нити, который кружит конусом, ближе к окружности в горизонтальной плоскости, но период там ещё связан с углом конуса и g. Эта страница того не считает: только кинематика уже заданного равномерного оборота. Пружинный период с корнем из m / k — третья история: там масса как раз есть, окружности нет. Не подставляйте длину нити в r «на всякий случай».
Частота n = 1 / T в тексте, не в поле
Частота оборотов n — сколько кругов в секунду. По определению n = 1 / T. Единица герц, если T в секундах. Угловая скорость ω = 2π n, потому что каждый оборот несёт 2π радиан. Поля n на странице нет: не ищите третье «частота» в списке неизвестных. Посчитали T — переверните на бумаге. При T = π с частота n = 1/π ≈ 0,318 Гц. При T = 0,628 с (это 0,2π при ω = 10 рад/с) n ≈ 1,59 Гц.
Не путайте n с ω и не называйте «частотой» угловую скорость в рад/с, хотя в разговоре так делают. В формуле T = 2π / ω уже стоит ω, не n. Если в задаче «частота 5 Гц», T = 0,2 с и ω = 10π рад/с: сначала n → T или n → ω, потом остальные поля. Циклическую частоту иногда обозначают ν, иногда f; здесь в прозе n, чтобы не смешать с ν как скоростью.
Почему массы нет
Период здесь — чистое следствие геометрии круга и уже известной скорости. Масса не входит, как не входит в «сколько времени ехать 100 км при 50 км/ч». Другое дело, откуда взялась сама ω: нить с натяжением, трение на вираже, тяготение на круговой орбите. Там масса может сократиться или нет в зависимости от сил. Калькулятор этих сил не спрашивает и m не предлагает. Не вводите килограммы «на всякий случай» — поля нет, и ответ от массы в этой постановке не сдвинется.
На вираже допустимая скорость зависит от r, g, угла, трения, и уже потом T = 2π r / v. Сначала скорость на вираже, затем при желании период круга. Не подставляйте массу автомобиля в T = 2π / ω, пока ω не получена из динамики. Второй закон F = ma с a = v² / r тоже про силу, не про секунды оборота напрямую. Большая полуось по динамике тяготения эта страница не проверяет: она переведёт уже известные T и ω, не спросит, хватает ли притяжения на такую орбиту.
Как пользоваться
Выберите период, угловую скорость, линейную скорость или радиус. Для T достаточно ω. Для v нужны T и r. Для r — v и T. Для ω — T. Согласуйте единицы: секунды, метры, метры в секунду, радианы в секунду. Соседи: угловая скорость, центростремительное ускорение, центростремительная сила, средняя скорость, маятник — чтобы не взять не ту формулу периода.
Вал двигателя, карусель, беговая дорожка-круг, точка на ободе при постоянных оборотах: все подходят, пока движение равномерное. Если вал разгоняется, период «текущего оборота» плавает, одно число T описывает лишь мгновенную оценку 2π / ω(t). Страница считает ω постоянной. Не суйте длину маятника в r и не ждите g в формуле. Минута на оборот: T = 60 с, ω = 2π / 60 рад/с — удобная проверка списка единиц.
Примеры: ω = 2 рад/с и другие
База: ω = 2 рад/с → T = 2π / 2 = π с. Обратно T = 1 с → ω = 2π рад/с. Пара с радиусом: T = 2 с, r = 10 м → v = 10π м/с, и r = v T / (2π) возвращает 10 м.
Карусель: r = 3,2 м, T = 8 с. v = 2π · 3,2 / 8 = 0,8π ≈ 2,51 м/с, ω = 2π / 8 = π/4 рад/с ≈ 0,785 рад/с. Частота n = 1/8 = 0,125 Гц, то есть оборот за восемь секунд, как и задумано. Детская площадка, не шоссе: числа скромные, формула та же, что у быстрой точки.
Круговая дорожка: r = 50 м, v = 25 м/с. T = 2π · 50 / 25 = 4π с ≈ 12,57 с. ω = 25 / 50 = 0,5 рад/с, проверка T = 2π / 0,5 = 4π с. Центростремительное ускорение при этих числах 25² / 50 = 12,5 м/с² — уже другая страница, период лишь помог понять, как часто круг замыкается.
Быстрый диск: ω = 10 рад/с → T = 0,2π ≈ 0,628 с, n ≈ 1,59 оборота в секунду. Ещё связка: r = 7 м, T = 3,5 с → v = 2π · 7 / 3,5 = 4π ≈ 12,57 м/с. Сравните с маятником: чтобы нить дала те же 3,5 с, L = g (T / 2π)² ≈ 3,04 м при g = 9,8 — длина, а не радиус орбиты, и скорость груза на маятнике не постоянна. Не переносите 7 м с круга на нить.
Типичные ошибки
- Взять T = 2π √(L / g) вместо 2π / ω.
- Подставить градусы в секунду в ω без перевода в радианы.
- Забыть 2π и написать T = 1 / ω или T = r / v.
- Искать поле частоты: n = 1 / T считают отдельно.
- Впихнуть массу в кинематический период.
- Взять диаметр вместо радиуса в v = 2π r / T.
- Смешать период оборота с временем разгона по линейному a.
Частые вопросы
- Какая формула периода обращения?
- Один полный оборот T = 2π / ω. Через линейную скорость и радиус то же самое: T = 2π r / v.
- Это период нитяного маятника?
- Нет. Математический маятник — T = 2π √(L / g). Там длина подвеса и g, здесь окружность с постоянными r и |v|.
- Как связаны скорость и радиус?
- v = 2π r / T: длина окружности за время одного оборота. Обратный ход: r = v T / (2π).
- Где частота?
- Отдельного поля нет. Частота оборотов n = 1 / T, в герцах, если T в секундах. Угловая ω = 2π n = 2π / T.
- Зависит ли период от массы?
- В этой кинематической постановке нет: T определяется ω или парой v, r. Масса появилась бы в динамике, если ω сама находится из сил.
- Можно ли найти ω по периоду?
- Да: ω = 2π / T. Это та же связь, что на странице угловой скорости, здесь заточенная под оборот.
Источники
- Сивухин Д. В. Общий курс физики. Механика.
- Иродов И. Е. Основные законы механики.
- BIPM. The International System of Units (SI).