T² пропорционально a³
Третий закон Кеплера в ньютоновой форме: квадрат сидерического периода пропорционален кубу большой полуоси, коэффициент содержит G M центрального тела. Формула T = 2π √(a³ / (G M)) верна, если спутник много легче центра (M ≫ m).
Контроль: G = 1, M = 8, a = 2 → T = 2π. Раздел: тяготение Ньютона.
Буква a здесь длина, большая полуось эллипса. Для круга a совпадает с радиусом орбиты. Это не ускорение из кинематики.
T = 2π √(a³ / GM)
T = 2π √(a³ / (G M))
Поля T, a, G, M. Обратный ход находит полуось или массу центра. G константа. Масса спутника не входит.
Не T = 2πr/v и не маятник
Не T = 2π / ω = 2πr/v: там нет G. Не маятник 2π √(L/g). Не нить.
Не скорость √(GM/r) как целевой ответ, хотя на круге они связаны. Не убегание: у параболы периода нет.
Как пользоваться
Задайте полуось a и массу M. Период в секундах; год ≈ 3,156·10⁷ с. Астрономические единицы страница в список единиц не подставляет: переведите a в метры.
Примеры
1. Прямая. G = 1, M = 8, a = 2 → T = 2π.
2. Полуось. T = 2π, G = 1, M = 8 → a = 2.
3. Масса. T = 2π, G = 1, a = 2 → M = 8.
4. Запрет. M = 0.
5. Круг. v = √(GM/a) = 2, тогда 2π a / v = 2π — тот же период.
Ещё задачи
Земной год: a = 1,5·10¹¹ м, M☉ ≈ 2·10³⁰ кг → T ≈ 3,16·10⁷ с. Не подставляйте массу Земли как M: центральное тело — Солнце.
Луна: a ≈ 3,84·10⁸ м, M — Земля. Период ≈ 27,3 сут сидерических, не 29,5 синодических. Страница сидерический T.
Якорь 2π при a = 2, M = 8, G = 1. Если вышло π, потеряли двойку перед π или корень.
Увеличили a вчетверо — период в 8 раз? Нет: √(4³) = √64 = 8, да, в 8 раз. √(a³) = a^{3/2}: учетверение a даёт 8 по периоду.
Геостационар: T = 86164 с (звёздные сутки), M Земли → a ≈ 42 164 км от центра. Не 36 000 км «над экватором» без прибавления R.
Связь с круговой скоростью только если орбита круговая. Эллипс: vis-viva, период всё равно по a, не по текущему r.
Две звезды сравнимой массы: в знаменателе M₁ + M₂. Страница одного M. Не натягивайте двойную систему.
Не путайте a с ускорением из a = (v−v₀)/t. Разные буквы в разных главах.
После периода скорость на круге: 2πa/T или сосед √(GM/a).
Сутки в поле T: 86400 с. Не пишите «1 день» числом 1 без перевода.
Школа: полуось — длина
Кеплер сравнивал квадраты годов и кубы средних расстояний. Ньютон объяснил коэффициент через G M. Для круга вывод: T = 2π r / v, v = √(GM/r), откуда T² ∝ r³.
Памятка: a длина. T время. M центра. Не масса планеты-спутника в поле M, если речь о годе Земли вокруг Солнца.
Контроль: G = M = 1, a = 1 → T = 2π.
Итог: три поля плюс G, M ≠ 0, полуось не ускорение.
Чертёж: эллипс, длинная полуось a подписана, Солнце в фокусе, не обязательно в центре (для круга совпадает).
Хаб тяготения отделяет Кеплера от кинематики окружности.
Год, Луна, геостационар
Оценка массы Солнца из года Земли — обратный ход M. Классическая лабораторная идея без взвешивания звезды.
Спутники связи: фиксированный T, ищем a. Высота над поверхностью = a − R, R берите отдельно.
Не маятник: похожий корень, другие буквы.
Якорь T = 2π при учебной тройке (G, M, a) = (1, 8, 2).
Согласование с кругом
Посчитайте v = √(GM/a), затем T' = 2π a / v. Должно совпасть с T этой страницы. Расхождение — ошибка единиц a.
Обратный кубический корень для a проверьте подстановкой назад в период.
M = 0 нельзя: деление на ноль под корнем.
Не используйте градусы в T. Период — секунды, минуты, часы, сутки из списка единиц.
Скорость: √(GM/r).
Астрономическая единица 1,496·10¹¹ м. Подставить «1 а.е.» числом 1 при G и M в СИ нельзя: размерности развалятся, год не получится.
Синодический период планет — про соединения с Землёй, не этот T. Страница считает оборот относительно звёзд, сидерический.
Если массы сравнимы, в знаменателе M+m. Двойные звёзды так и пишут. Здесь одно M: спутник лёгкий.
Куб полуоси в числителе под корнем: не забудьте возвести a в третью, не в квадрат. √(a²/GM) — другая, неверная формула.
Комета с большим эксцентриситетом: период всё равно от a, не от перигелия. Ближайшая точка задаёт vis-viva, не T.
Типичные ошибки
- Считать a ускорением.
- Подставить T = 2πr/v и забыть массу.
- Взять синодический месяц вместо сидерического.
- Массу спутника поставить в поле M.
- Нулевая масса центра.
Соседи: круговая скорость, период окружности, закон Ньютона, скорость убегания, центростремительная сила.
Частые вопросы
- Какая формула третьего закона Кеплера?
- T = 2π √(a³ / (G M)) при M ≫ m. a — большая полуось в метрах, не ускорение. Для G = 1, M = 8, a = 2 период равен 2π.
- Чем отличается от периода обращения по окружности?
- T = 2πr/v не знает массу центра. Кеплер связывает период с полуосью и M.
- Это период маятника?
- Нет. Маятник T = 2π √(L/g) — другая страница. Здесь орбита, G и M.
- Можно найти a или M?
- a = ³√(G M T² / (4π²)), M = 4π² a³ / (G T²). Нулевая масса центра запрещена.
- Круговая скорость?
- На круге a = r и v = √(GM/r) согласованы с этим T через T = 2πa/v.
- Где хаб?
- Тяготение Ньютона и физика.
Источники
- Сивухин Д. В. Общий курс физики. Механика.
- Иродов И. Е. Основные законы механики.
- CODATA 2018. Newtonian constant of gravitation G.