Точка на нерастяжимой нити
Математический маятник — идеализация: вся масса в точке, нить без массы и без растяжения, нет трения о воздух, качание в одной плоскости. Возвращает составляющая силы тяжести. Период при малых углах зависит только от длины подвеса и g. Раздел: динамика.
Физический маятник (стержень, обруч, груз конечного размера) — другая формула с моментом инерции, этой страницы недостаточно. Конический маятник и оборот вокруг вертикали тоже не сюда.
T = 2π √(L/g)
T = 2π √(L/g)
Длиннее нить — медленнее качается. Больше g — быстрее. При L = 10 м и g = 10 м/с² период 2π с. Обратный ход находит длину: удобно оценить «какой маятник тикает раз в две секунды». g как неизвестную страница не ищет — это постоянная, её меняют вручную.
Секунды, метры, м/с². Не подставляйте длину в сантиметрах, оставив g в м/с², без перевода: ошибка в √100 = 10 раз по T.
Почему только малые углы
Точное уравнение — sin φ, не φ. Замена sin φ ≈ φ (в радианах) законна, пока угол невелик: школьный ориентир — несколько градусов, грубо до 10–15°, не «почти до горизонтали». При 60° ошибка периода уже заметна, формула 2π √(L/g) занижает T. Калькулятор поправку эллиптического интеграла не делает.
Почему нет массы
И инерция, и возвращающая сила пропорциональны m. Как на наклонной без трения и как при падении, масса сокращается. Добавить «тяжёлый груз качается медленнее» — интуиция от пружины, не от нити. У пружины масса в числителе под корнем как раз есть: T = 2π √(m/k).
Ускорение в нижней точке зависит от амплитуды и не равно g. Свободное падение — кинематика плюс g, не период маятника.
Не пружинный маятник
Нить не имеет жёсткости k в смысле Гука. Подставить k «на глаз» нельзя. Второй закон F = ma для груза на нити даёт проекцию −mg sin φ; после малой замены получается гармоническое уравнение с ω² = g/L, откуда T = 2π/ω. Страница силы этот ω не считает.
Как пользоваться
Выберите период или длину. При необходимости смените g. Массу, угол размаха и жёсткость не вводите — полей нет. Если груз на пружине, откройте пружинный маятник. Оборот по окружности с постоянным ω — T = 2π/ω, не эта формула. Потенциальная энергия высоты в крайней точке — mgh, не период.
Длину меряйте до центра масс груза, не до узла на штативе и не до нижнего края шарика «на глаз». Толстая нить и большой шар приближают систему к физическому маятнику: период чуть другой. Школьный «шарик на нитке» формула всё же описывает хорошо, пока шар мал по сравнению с L.
Не растягивайте «нить» как пружину и не подставляйте k. Если подвес резиновый, это уже смесь моделей, калькулятор нитяного маятника завысит точность. Сопротивление воздуха на лёгком шарике сдувает амплитуду; период при малых углах почти не трогает, пока затухание слабо. Сравнить два маятника в разных точках Земли — способ почувствовать, что g не везде одно и то же; для инженерной геодезии нужны другие приборы, не школьная нить.
Пример: L = 10 м, g = 10
T = 2π с ≈ 6,28 с. Секундный маятник (полупериод 1 с, полный 2 с) при g = π² ≈ 9,87 м/с² имеет L = 1 м — учебная связка. На Луне при g ≈ 1,6 м/с² тот же метровый маятник качается заметно медленнее. Соседи: кинематика не заменяет период; машина Атвуда — про два груза и блок, не про качание.
Часы с маятником подстраивают длину: чуть опустить груз — период вырастет, часы станут отставать, если не учесть ход. Формула показывает направление: T пропорционален корню из L, не самой L. Удвоить длину — умножить период на √2 ≈ 1,41, не на два.
Нить 25 см = 0,25 м при g = 9,8 даёт T ≈ 1 с полного цикла — порядка школьного лабораторного штатива. Не оставляйте 25 в поле метров: получите период, как у маятника высотой с пятиэтажку. Секундомер на десять качаний и деление на десять снижает ошибку старта-стопа; в калькулятор кладут уже средний T, не «время десяти циклов» целиком.
Типичные ошибки
- Взять T = 2π √(m/k) от пружины.
- Подставить массу в формулу «чтобы было точнее».
- Применить школьную формулу к размаху 80° без оговорки.
- Смешать сантиметры длины и метры в g.
- Искать здесь частоту обращения по окружности — это не конический маятник.
- Взять L до пола, а не длину нити до центра груза.
- Считать полупериод полным периодом и ошибиться вдвое.
Частые вопросы
- Какая формула периода математического маятника?
- При малых углах T = 2π √(L/g). L — длина до центра груза, g — ускорение свободного падения.
- Как найти длину по периоду?
- L = g (T / 2π)². Секунды и g должны быть согласованы: T в секундах, g в м/с², L в метрах.
- Зависит ли период от массы?
- В этой модели нет: масса сокращается, как у свободного падения. Тяжёлый и лёгкий груз на одинаковой нити качаются одинаково.
- Зависит ли период от амплитуды?
- В малом угле — нет. При размахе в десятки градусов формула занижает период: реальное движение уже не чисто гармоническое.
- Это пружина?
- Нет. Пружинный период T = 2π √(m/k) на странице пружинного маятника.
- Какое g подставлять?
- По умолчанию 9,80665 м/с². В школе часто 9,8 или 10. На Луне g меньше — период при той же длине больше.
Источники
- Сивухин Д. В. Общий курс физики. Механика.
- Иродов И. Е. Основные законы механики.
- BIPM. The International System of Units (SI).