Какая формула периода пружинного маятника?

T = 2π √(m/k). Масса груза, жёсткость пружины. Амплитуда в линейной модели не входит.

Как найти жёсткость по периоду?

k = m (2π / T)². Период и масса должны быть больше нуля.

Это закон Гука?

Закон Гука даёт силу F = kΔx в конкретном растяжении. Период — про целое колебание, не про один ньютон.

Чем отличается математический маятник?

У нитяного T = 2π √(L/g), длины и g, без жёсткости. Страница математического маятника.

Вертикальная или горизонтальная пружина?

В линейной модели период тот же: вес только смещает положение равновесия, k и m не меняет.

Где энергия пружины?

E = kx² / 2 — запас в данном растяжении, не секунды периода.

Период пружинного маятника

Груз на пружине

Пружинный маятник — груз, который пружина возвращает к положению равновесия. Пока сила линейна (закон Гука), движение гармоническое: смещение — синус или косинус времени. Период T — время полного цикла туда-обратно. Раздел: динамика.

Калькулятор не спрашивает амплитуду и g: в идеальной модели они не нужны. Затухание, удар витков и «резина с гистерезисом» сюда не входят.

T = 2π √(m/k)

T = 2π √(m/k)

Тяжелее груз — медленнее качается. Жёстче пружина — быстрее. При m = 1 кг и k = 1 Н/м период ровно 2π секунд ≈ 6,28 с. Удвоить массу при той же k — умножить T на √2, не на 2. Обратный ход: m = k (T / 2π)², k = m (2π / T)².

Единицы: килограммы, ньютоны на метр, секунды. Частота f = 1/T на этой странице не считается отдельным полем; при T = 2π с частота 1/(2π) Гц.

Почему не зависит от амплитуды

Сила пропорциональна смещению, «жёсткость возврата» растёт вместе с оттяжкой. Большой размах и малый проходят за одно время — свойство гармоники. Оттянули сильнее — скорость в середине тоже больше, путь длиннее, время цикла то же. Если пружина уже не линейная, формула врёт: период начнёт зависеть от амплитуды, калькулятор этого не знает.

Не закон Гука и не энергия

F = kΔx отвечает «какая сила при этом растяжении». kx²/2 — «какой запас в джоулях». Период — «сколько секунд на цикл». Три разные задачи, три страницы. Не умножайте k на m «для периода» без корня и 2π.

Не нитяной маятник

Математический маятник качается на нити, возвращает сила тяжести, формула с длиной и g. Пружина возвращает упругостью, g в период горизонтальной пружины не входит. Смешать √(m/k) и √(L/g) — получить секунды без физического смысла. Нить: T = 2π √(L/g).

Второй закон для мгновенного ускорения груза — F = ma, где F — текущая сила пружины. Период из этого дифференциального уравнения как раз 2π √(m/k), решать его вручную на каждом шаге не нужно.

Как пользоваться

Выберите период, массу или жёсткость. Введите две известные величины. Амплитуду, угол и g не пишите. Для миллиметров растяжения эта страница всё равно не подходит: растяжение ей не нужно.

Миллисекунды периода лабораторного жёсткого осциллятора переведите в секунды списком единиц. Груз 200 г = 0,2 кг, не «200» в поле килограммов: период тогда выйдет как у шкафа на пружине. Жёсткость 100 Н/м и 0,1 Н/мм — одно и то же после перевода; не умножайте лишний раз на 1000 вручную, если единица уже выбрана.

Затухание укорачивает амплитуду, но в слабо затухающем случае период почти тот же. Сильное трение в поршне калькулятор не моделирует: это уже не гармонический осциллятор Гука. Удары витка о виток при слишком большой амплитуде тоже ломают линейность. Частота циклическая ω = √(k/m) = 2π/T в отдельное поле не вынесена: при известном T она считается делением, без новой страницы.

Пример: m = 1 кг, k = 1 Н/м

T = 2π с. Груз 4 кг на той же пружине: T = 4π с. Если засекли период 2π с у груза 1 кг, жёсткость 1 Н/м. Соседи: энергия пружины для запаса в крайней точке; mg только чтобы найти новое равновесие вертикальной пружины, не период.

Вертикальная пружина: равновесие смещено на Δ = mg/k. Колебания вокруг этого нового нуля имеют тот же T. Не вычитайте mg из k и не добавляйте g в корень. Горизонтальная пружина на гладком столе — ещё проще: равновесие в недеформированной длине, период тот же 2π √(m/k).

Две одинаковые пружины параллельно удваивают k и укорачивают период в √2 раз. Последовательно k падает вдвое, период растёт в √2. Калькулятор ждёт уже итоговую жёсткость системы, не считает сборку пружин. Три пружины «звездой» или сдвиг по направляющей с трением — уже не эта формула: сначала найдите эффективное k или признайте, что движение не гармоническое.

Типичные ошибки

Подставить T = 2π √(L/g) от нитяного маятника.
Ждать, что больший размах даст больший период.
Забыть 2π и оставить один корень √(m/k).
Путать жёсткость k с коэффициентом трения μ.
Искать здесь силу в конкретный момент: это закон Гука.
Сложить период пружины с периодом нитяного маятника «потому что оба 2π».
Подставить массу в граммах и ждать секунды, как будто это килограммы.

Практический смысл расчёта «Период пружинного маятника»

Механическая зависимость связывает измеряемые величины в выбранной идеализированной системе. До расчёта фиксируют тело, направление оси, интервал времени и систему отсчёта; без этого одинаковый символ скорости или силы может получить другой знак и смысл.

В идеальной модели период зависит от массы и жёсткости, но не от амплитуды малых колебаний. Увеличение массы в четыре раза удваивает период.

Для основной постановки искомой величиной является Период, а исходными данными служат Масса груза и Жёсткость. Смена расчётной цели означает алгебраическое преобразование той же зависимости, а не переход к другой физической или математической модели.

Практический расчёт удобно вести от схемы к формуле, от формулы к числам и только после этого к округлённому ответу.

Проверка формулы и результата

Проверьте единицы СИ, направление результата и энергетический либо силовой баланс. Затем измените один вход в два раза: линейная зависимость должна ответить тем же коэффициентом, а квадратная — коэффициентом четыре.

Запишите, что известно и какая величина должна быть найдена; сопоставьте названия с символами формы.
Приведите связанные величины к согласованным единицам и отдельно отметьте безразмерные коэффициенты.
Оцените знак и порядок ответа до точного вычисления, используя простое округление исходных данных.
Подставьте числа в формулу без преждевременного округления и сохраните единицу возле результата.
Выполните обратную подстановку либо повторите один из контрольных наборов ниже.
Сравните итог с областью применимости модели и только затем округлите его для записи.

Конфигурация калькулятора проверяется следующими точками:

m = 1 и k = 1 → Период: 6.283185307179586.
T = 6.283185307179586 и k = 1 → Масса груза: 1.
T = 6.283185307179586 и m = 1 → Жёсткость: 1.

Совпадение контрольной точки подтверждает работу арифметики и интерфейса. Оно не подтверждает автоматически достоверность пользовательских измерений, поэтому исходные значения проверяют отдельно.

Обозначения, единицы и обратный ход

T — Период; с; строго больше нуля.
m — Масса груза; кг; строго больше нуля.
k — Жёсткость; Н/м; строго больше нуля.

Доступные расчётные записи:

Период: T = 2π √(m/k)
Масса груза: m = k (T / 2π)²
Жёсткость: k = m (2π / T)²

При обратном вычислении округлённый результат может не вернуть исходное число до последнего знака. Сравнивать следует в пределах точности ввода: лишние десятичные цифры интерфейса не повышают качество измерений.

Если единица изменена в выпадающем списке, интерфейс выполняет перевод сам. Дополнительное ручное умножение на 100, 1000 или коэффициент площади приводит к двойному преобразованию.

Границы модели и здравый смысл

В учебной модели могут отсутствовать сопротивление среды, деформация, распределение массы, потери, вращение и изменение параметров во времени. Для проектного решения эти эффекты оценивают отдельно и добавляют требуемый запас безопасности.

Проверьте крайние значения: ноль, единицу, очень малый и очень большой допустимый вход. Поведение должно согласовываться с формулой; скачок знака, деление на ноль или невозможная геометрия требуют пересмотра исходных условий.

Для ответственного применения запишите допущения рядом с результатом. Калькулятор выполняет указанную зависимость, но не выбирает нормативный запас, не исправляет неверное измерение и не заменяет профессиональную проверку там, где от ответа зависит безопасность.

Хороший итог можно объяснить без интерфейса: откуда взялись данные, почему выбрана эта формула, в каких единицах получено число и каким независимым способом оно было проверено.

Частые вопросы

Какая формула периода пружинного маятника?: T = 2π √(m/k). Масса груза, жёсткость пружины. Амплитуда в линейной модели не входит.
Как найти жёсткость по периоду?: k = m (2π / T)². Период и масса должны быть больше нуля.
Это закон Гука?: Закон Гука даёт силу F = kΔx в конкретном растяжении. Период — про целое колебание, не про один ньютон.
Чем отличается математический маятник?: У нитяного T = 2π √(L/g), длины и g, без жёсткости. Страница математического маятника.
Вертикальная или горизонтальная пружина?: В линейной модели период тот же: вес только смещает положение равновесия, k и m не меняет.
Где энергия пружины?: E = kx² / 2 — запас в данном растяжении, не секунды периода.

Источники

Сивухин Д. В. Общий курс физики. Механика.
Иродов И. Е. Основные законы механики.
BIPM. The International System of Units (SI).