Круг вокруг точечной массы
Первая космическая скорость — скорость круговой орбиты: тяготение обеспечивает центростремительное ускорение. Формула v = √(G M / r), где r — радиус орбиты от центра, не «высота над почвой».
Контроль: G = 1, M = 8, r = 2 → v = 2. Раздел: тяготение Ньютона.
Для низкой околоземной орбиты школьный ответ ≈ 7,9 км/с при r ≈ R₃. Страница не подставляет радиус Земли сама.
v = √(G M / r)
v = √(G M / r)
Поля v, G, M, r. Обратный ход находит массу центра или радиус. G — константа. Масса спутника в формулу не входит.
Не убегание и не 2πr/T без G
Не v = √(2GM/r): там отлёт, здесь круг. Не T = 2πr/v: там уже известны r и v, тяготения нет.
Не F = mv²/r как ответ: сила нужна, чтобы вывести формулу, но целевое поле здесь скорость. Не v = s/t средней скорости на шоссе.
Как пользоваться
Задайте M и r, оставьте v пустым. Высоту h над поверхностью сначала сложите с радиусом планеты: r = R + h. Страница R не прибавляет.
Единицы м/с. 7,9 км/с = 7900 м/с. Родитель физика.
Примеры
1. Прямая. G = 1, M = 8, r = 2 → v = 2.
2. Масса. v = 2, G = 1, r = 2 → M = 8.
3. Радиус. v = 2, G = 1, M = 8 → r = 2.
4. Запрет. r = 0.
5. Связь с убеганием. При тех же M, r вторая космическая √8 ≈ 2,828 = 2√2, ровно √2 · v.
Ещё задачи
Низкая орбита: M = 5,97·10²⁴ кг, r = 6,57·10⁶ м (высота ≈ 200 км). v ≈ 7,8 км/с. Не берите r = 200 км.
Геостационарная высота другая: период сутки задаёт r через Кеплера, затем v = 2πr/T. Не путайте порядок.
Якорь √(8/2) = 2. Если вышло √(8·2) = 4, перепутали числитель и знаменатель.
Увеличили r вчетверо — скорость вдвое меньше. Не линейно.
Связь с F = GMm/r²: подставьте F = m v² / r, сократите m.
Эллипс: vis-viva зависит от текущей r и большой полуоси. Круг — частный случай a = r. Страница только круг.
Не подставляйте g вместо GM/r², если r не равен радиусу планеты: на высоте g другое. Можно g(r) = GM/r², тогда v = √(g r), но g должно быть на этой орбите, не 9,81.
После круговой скорости период по Кеплеру или через T = 2πr/v — оба согласованы на круге.
Масса спутника 1 кг и 1000 кг дают одну v. Если в условии «тяжёлый спутник сравним с планетой» — модель сломана.
Вторая космическая — сосед, не умножайте v на 2. Множитель √2 ≈ 1,414.
Школа: тяготение как центростремительная
GMm/r² = m v² / r. Сократили m и одно r: v² = GM/r. Корень — формула страницы.
Памятка: круг, не отлёт. r от центра. Нет массы спутника.
Контроль: G = 1, M = r = 1 → v = 1.
Итог: три рабочих поля плюс G, нулевой r нельзя.
Чертёж: окружность вокруг большого шара, касательная v, радиус r.
Хаб тяготения ставит рядом убегание, чтобы не спутать √1 и √2.
Низкая орбита и геостационар
МКС: скорость порядка 7,7 км/с. «Почему не падает?» — как раз эта v: падение всё время промахивается мимо Земли.
Спутник связи над экватором: сначала период 23 ч 56 мин, потом r из Кеплера, потом v. Не берите низкую 7,9 км/с на геостационар.
Луна: r ≈ 3,84·10⁸ м даёт v ≈ 1 км/с. Другой масштаб, та же формула.
Не вираж автомобиля: там трение и g, не орбита.
Якорь 2 при M = 8, r = 2, G = 1.
Связь с периодом
На круге T = 2π r / v. Подставьте v = √(GM/r) — получите Кеплера T = 2π √(r³/GM). Обе страницы должны совпасть.
Сверьте √2: убегание / круговая. Если вышло 2, умножили не на тот корень.
Единицы: G в м³/(кг·с²), иначе корень размерно развалится.
Не используйте градусы. Скорость в м/с или км/с после перевода.
Сила пары: GMm/r².
Высота 400 км над Землёй: r ≈ 6,78·10⁶ м, не 400 000 м. Подстановка высоты как r завышает скорость в несколько раз и ломает сравнение с 7,7 км/с МКС.
Если известны только T и r, без массы, откройте кинематику окружности. Эта страница массу требует или находит.
Эксцентриситет эллипса здесь ноль. Перигей и апогей — разные r, разные vis-viva, один период по большой полуоси на странице Кеплера.
Не умножайте v на массу спутника: импульс mv считается отдельно, орбитальная скорость от m не зависит.
Полярная и экваториальная орбиты при одном r дают одну v в этой модели: Земля — сфера. Наклонение страница не спрашивает.
Типичные ошибки
- Взять высоту над поверхностью вместо r от центра.
- Смешать с √(2GM/r).
- Подставить g = 9,81 на высокой орбите.
- Умножить круговую на 2 вместо √2 для убегания.
- Нулевой радиус.
Соседи: закон Ньютона, скорость убегания, период окружности, Кеплер, центростремительная сила.
Частые вопросы
- Как найти первую космическую скорость?
- v = √(G M / r) для круговой орбиты. При G = 1, M = 8, r = 2 получается 2. На поверхности Земли это около 7,9 км/с.
- Чем отличается от второй космической?
- Скорость убегания √(2GM/r) в √2 раз больше. Круг не парабола отлёта.
- Это период T = 2πr/v?
- Кинематика окружности связывает T, r и v без тяготения. Здесь v из массы центра.
- Можно найти M или r?
- M = v² r / G, r = G M / v². Нулевой радиус запрещён.
- Нужна ли масса спутника?
- В этой модели нет: она сокращается, если m ≪ M. Массивный спутник — двухтельная задача, не эта страница.
- Где хаб?
- Тяготение Ньютона и физика.
Источники
- Сивухин Д. В. Общий курс физики. Механика.
- Иродов И. Е. Основные законы механики.
- CODATA 2018. Newtonian constant of gravitation G.