Наклонный поворот
Автомобиль или поезд на вираже должен иметь центростремительное ускорение v²/r к центру окружности. Полотно наклоняют на угол θ, чтобы нормальная реакция дала горизонтальную составляющую. Трение может добавить или убавить запас по скорости. Калькулятор считает верхнюю оценку: скорость, при которой трение ещё держит «от сноса наружу». Раздел: динамика.
Движение равномерное по модулю: не разгон вдоль ската, а поворот. Масса сокращается, как часто в задачах с окружностью и сухим трением. Крен кузова и профиль шины не входят.
Скорость с трением
v = √[ r g (sin θ + μ cos θ) / (cos θ − μ sin θ) ]
Числитель sin θ + μ cos θ, знаменатель cos θ − μ sin θ. Если знаменатель не положителен, «максимальной» конечной скорости нет: даже стоять на таком склоне с таким μ к центру уже сносит, либо деление на ноль. Обратный ход даёт радиус по скорости.
Угол в градусах. μ = 0 допустим и означает гладкое полотно. g стандартное или 10. Радиус — траектории центра масс по горизонтальной проекции в школьной плоской модели.
Без трения: √(r g tan θ)
При μ = 0 формула сжимается в v = √(r g tan θ). На 45° tan = 1, v = √(r g). На горизонтали θ = 0 без трения v = 0: гладкий стол не держит поворот. Это не «скорость свободного падения» и не √(g r) без угла: забытый tan θ ломает ответ.
Сила тяжести mg даёт вертикаль, нормаль — перпендикуляр к полотну. Горизонтальная проекция N и есть центростремительная сила. Равнодействующую двух перпендикулярных проекций в общем виде собирает страница по осям; здесь оси уже привязаны к виражу, ответ сразу v.
Не брусок вдоль склона
Брусок, который едет вниз по неподвижной доске, имеет ускорение вдоль доски. Формула a = g(sin α − μ cos α). На вираже вдоль полотна скорость не наращивают специально: держат окружность. Подставить a склона вместо v²/r нельзя.
Угол трения φ = arctan μ говорит, с какого уклона брусок сползет с места. На вираже тот же μ работает в проекциях к центру, не как условие покоя на горке. Второй закон F = ma здесь с a = v²/r по горизонтали, не с кинематическим Δv/Δt вдоль прямой.
Как пользоваться
Выберите скорость или радиус. Введите угол, μ и g. Для «идеального» виража без шин поставьте μ = 0. Плоский поворот с трением: θ = 0, тогда v = √(μ r g) — знакомая школьная оценка «не занесет на льду». Соседи: средняя скорость v = s/t к радиусу отношения не имеет.
Если калькулятор ругается на корень или деление, μ слишком велико для этого угла в формуле максимума, либо вы ищете радиус при θ = 0 и μ = 0 и ненулевой v. Угол ограничен 89°: вертикальная стена — не дорога.
Минимальная скорость на вираже с трением «чтобы не сползти вниз к центру» — другая формула, со сменой знака μ. Эта страница её не считает: только ветка «не вынесет наружу» и гладкий расчётный режим. В задаче «найти наименьшую скорость» откройте учебник, не ждите тот же корень.
Пример: r = 100 м, 45°
μ = 0, g = 10. v = √(100 · 10 · 1) = √1000 ≈ 31,6 м/с. Обратный ход по этой скорости снова даёт 100 м. На горизонтали с теми же r и g без трения v = 0. С трением μ = 0,4 на плоском круге v = √(0,4 · 100 · 10) = 20 м/с — уже другая подстановка θ = 0.
Поезд на насыпи: θ подбирают под расписание, чтобы при штатной v трение почти не работало. Гололёд уменьшает μ — запас по верхней скорости падает. Формула не знает рельс и гребень колеса: это модель «точка на шероховатом конусе».
Сравнение со склоном: тот же 30° и μ = 0,2 для бруска дают a ≈ 3,27 м/с² вниз. Для виража 30°, μ = 0, r = 100, g = 10: v = √(1000 tan 30°) ≈ 24 м/с. Разные вопросы, разные ответы, один и тот же угол в чертеже не обязан совпадать по смыслу.
Мотоцикл в повороте наклоняет корпус — это уже не угол полотна θ, а баланс своя/центробежная в другой постановке. Не подставляйте угол наклона пилота вместо θ дороги, если в задаче вираж — про полотно.
Типичные ошибки
- Взять v = √(g r) без tan θ.
- Подставить ускорение склона вместо центростремительного.
- Забыть, что θ от горизонта, не от вертикали.
- Искать здесь минимальную скорость со «знаком минус у μ» той же строкой.
- Положить N = mg на наклонном полотне.
- Смешать км/ч и м/с в квадрате скорости.
Частые вопросы
- Какая формула скорости на вираже?
- Максимальная (и расчётная с трением «наружу») v = √[ r g (sin θ + μ cos θ) / (cos θ − μ sin θ) ]. θ — угол наклона полотна к горизонту.
- Что если трения нет?
- μ = 0, тогда v = √(r g tan θ). Это скорость, при которой хватает одной нормальной реакции, без заноса внутрь и наружу.
- Почему на льду без уклона скорость ноль?
- θ = 0 и μ = 0: центростремительную силу брать неоткуда. Любая ненулевая скорость на идеально гладком горизонтальном круге невозможна.
- Это ускорение на наклонной плоскости?
- Нет. a = g(sin α − μ cos α) — разгон вдоль склона. Здесь тело держит окружность, скорость по модулю постоянна.
- Можно ли найти радиус?
- Да: r = v² (cos θ − μ sin θ) / [g (sin θ + μ cos θ)]. Если знаменатель ноль, такой окружности при этой v нет.
- Где сила трения как μN?
- Модуль F = μN на горизонтали считает сила трения. На вираже N не равно mg, и трение входит в обе проекции.
Источники
- Сивухин Д. В. Общий курс физики. Механика.
- Иродов И. Е. Основные законы механики.
- BIPM. The International System of Units (SI).