Сила, без которой нет окружности
Чтобы тело ехало по дуге постоянного радиуса, равнодействующая в горизонтальной (или в радиальной) проекции должна равняться m v² / r и смотреть к центру. Это и называют центростремительной силой: не новый сорт взаимодействия, а роль, которую играют уже известные силы. Камень на верёвке держит натяжение, автомобиль на льду — трение, поезд на насыпи — нормаль полотна. Раздел: динамика; скорость как v = s/t — кинематика, её модуль сюда подставляют готовым.
Без этой силы траектория не окружность: нить оборвалась — камень по касательной. Трения не хватило — занос наружу. Формула не «создаёт» силу из воздуха, она говорит, сколько нужно. Если реальные силы меньше требуемого m v² / r, движение по данной окружности невозможно.
Масса входит линейно, скорость — квадратом, радиус — в знаменателе. Быстрее ехать по тому же кругу гораздо «дороже» по силе, чем везти чуть большую массу. Удвоили v — учетверили F. Удвоили r при той же v — F вдвое меньше: широкий поворот мягче.
F = m v² / r
F = m v² / r
Четыре величины. Обратный ход: v = √(F r / m), r = m v² / F, m = F r / v². Радиус строго положителен: деление на ноль не окружность. Скорость ноль законна: F = 0, стоять на месте «по кругу» силы к центру не просит. Масса положительна.
Ньютоны, килограммы, метры в секунду, метры. Километры в час в квадрате без перевода уничтожают ответ: 72 км/ч = 20 м/с, в квадрате 400, не 5184. Сначала единица скорости, потом квадрат. g в эту формулу само не входит: тяжесть может быть одной из сил, которые в сумме дают F, но в F = m v² / r буквы g нет.
Нить, трение или наклон полотна
Горизонтальный круг на нити: натяжение T = m v² / r, если тяжесть перпендикулярна плоскости круга и не входит в эту проекцию. Вертикальный круг — уже T ± m g в разных точках; эта страница даёт только m v² / r, знак веса добавьте сами. Стержень может и толкать, нить только тянет: отрицательного натяжения нет, слишком медленный вертикальный круг в верхней точке нить не обеспечит.
Плоская дорога: центростремительную силу даёт трение к центру, не больше μ N ≈ μ m g на горизонтали. Отсюда оценка: v² не больше μ g r. Калькулятор μ не спрашивает: вы сравните найденное F с μ m g в тетради. Наклонное полотно умеет брать часть F с нормали: вираж как раз подбирает скорость под угол и трение. Не дублируйте вираж этой силой вслепую: там ответ сразу v, здесь — сколько ньютонов нужно.
Гравитация на орбите тоже может играть роль центростремительной: mg у поверхности — грубая школьная тень, не кеплеров калькулятор. Если в задаче «Земля притягивает и это даёт круг», сравните mg с m v² / r. Поля g здесь нет.
Период круга T связан как v = 2π r / T. Страница периода по окружности переводит T и r в скорость; затем можно вернуться сюда за F. Угловая ω = v / r даёт эквивалент F = m ω² r. Поля ω на этой форме нет, пересчитайте v или используйте ускорение a_c = ω² r на соседней странице и умножьте на m.
Не касательное F = ma
Второй закон F = ma всегда про равнодействующую и ускорение центра масс. На окружности ускорение раскладывают: касательное a_τ = dv/dt меняет модуль скорости, нормальное a_c = v² / r меняет направление. Центростремительная сила — нормальная часть, m a_c. Если мотоцикл ещё и газует по дуге, есть и касательная сила. Эта страница касательную не считает.
Равномерное движение по кругу: модуль v постоянен, касательная сила ноль (или уравновешена сопротивлением), а F к центру не ноль. «Нет ускорения, потому что скорость 10 м/с как была 10» — ошибка: вектор скорости крутится. Ускорение есть, оно к центру, его модуль v²/r.
Линейное a = (v − v₀)/t вдоль прямой — про другой сюжет. Не подставляйте это a вместо v²/r. Не подставляйте угловое α: α меняет ω, a_c есть и при α = 0.
Центробежная в инерциальной системе
В инерциальной системе отсчёта (земля, лаборатория) центробежной силы как третьего ньютоновского взаимодействия нет. Есть нить, которая тянет камень к центру; по третьему закону камень тянет нить наружу — это сила на нить, не на камень. На камень к центру. Слово «центробежная» в быту описывает ощущение в неинерциальной системе «я в карусели»: там вводят фиктивную силу наружу, чтобы писать равновесие.
Школьная задача на окружность почти всегда инерциальная: рисуйте F к центру, не пару «центростремительная плюс центробежная» на одном теле — они не должны стоять вместе в инерциальной схеме, иначе равнодействующая обнулится и круга не будет.
Пассажир в повороте давит на дверь: дверь потом давит на пассажира к центру и даёт ему a_c. Ощущение «меня выбросило» — инерция в системе машины. Калькулятор считает F на тело к центру, не силу на обшивку.
Как пользоваться
Выберите F, массу, скорость или радиус. Введите три известных. Для покоя на круге поставьте v = 0, получите F = 0. Угол виража, μ и g не вводите. Если задача про наклонную дорогу, после оценки F откройте вираж или разберите проекции сами.
Скорость — по траектории, не «обороты». Обороты переведите: v = ω r или v = 2π r / T. Радиус — до центра окружности траектории, не диаметр и не длина нити под углом, если груз не на горизонтальном круге радиуса нити.
Сравните ответ с тем, что реально может дать связь. Нить с пределом 50 Н не удержит F = 80 Н: либо меньше v, либо больше r, либо оборвётся. Калькулятор предел прочности не знает.
Масса поезда сокращается, если ищете только a_c, и не сокращается, если ищете силу: F пропорциональна m. Локомотив 800 кг учебной модели при 20 м/с на r = 50 м требует 6400 Н к центру. Человек 80 кг на тех же v и r — 640 Н. Не забудьте массу, переходя с страницы ускорения на эту.
Пример: 2 кг, 10 м/с, радиус 5 м
F = 2 · 100 / 5 = 40 Н. Обратный ход: F = 40, m = 2, r = 5 → v = 10. F = 40, m = 2, v = 10 → r = 5. F = 40, v = 10, r = 5 → m = 2. При v = 0 те же m и r дают F = 0.
Удвоили скорость до 20 м/с: F = 160 Н, вчетверо. Удвоили радиус до 10 м при 10 м/с: F = 20 Н, вдвое меньше. Удвоили массу до 4 кг при старых v и r: F = 80 Н, вдвое. Три разных «удвоить» — три разных множителя у силы.
Нить. Если доступно только 40 Н, 2 кг на 5 м не разгонять быстрее 10 м/с. Обратный ход по F_max как раз даёт предельную v. На вертикальном круге в нижней точке нить держит m v² / r + m g: при g = 10 это 40 + 20 = 60 Н, больше, чем горизонтальный расчёт. Страница показала 40, вес добавьте по условию.
Автомобиль 1000 кг, 20 м/с, r = 80 м: F = 5000 Н. На горизонтали нужно трение 5000 Н, при g = 10 и μ = 0,4 доступно до 4000 Н — не впишется, занос. Либо медленнее, либо шире круг, либо наклон полотна. Формула силы это показала числом 5000 против 4000, не «магией виража».
Связь с ускорением: a_c = 100 / 5 = 20 м/с², затем F = m a_c = 40 Н. Можно идти с страницы a_c сюда умножением на массу. Не оставляйте 20 как «силу»: 20 м/с² это не 20 Н, пока масса не 1 кг.
Типичные ошибки
- Забыть квадрат скорости или не перевести км/ч в м/с до квадрата.
- Направить силу по касательной или «наружу в инерциальной схеме».
- Положить F = 0, потому что модуль v постоянный.
- Подставить линейное a = Δv/Δt вместо v²/r.
- Сложить на одном теле центростремительную и «центробежную» в инерциальной системе.
- Взять диаметр вместо радиуса.
- Забыть массу, скопировав число с страницы ускорения.
- Ждать, что формула сама добавит mg на вертикальном круге.
Частые вопросы
- Какая формула центростремительной силы?
- F = m v² / r, направлена к центру окружности. m — масса, v — скорость по дуге, r — радиус траектории.
- Кто «поставляет» эту силу?
- Нить или стержень — натяжением, сухая дорога — трением, вираж — составляющей реакции. Наклонный поворот считает скорость на вираже.
- Это обычное F = ma вдоль скорости?
- Нет. Касательное F = ma меняет модуль v. Центростремительная сила меняет направление v и равна m a_c, где a_c = v²/r.
- Чем отличается от центростремительного ускорения?
- Ускорение a_c = v² / r — кинематика. Сила — динамика: F = m a_c. Масса входит только сюда.
- Существует ли центробежная сила?
- В инерциальной системе отдельной «центробежной» силы нет: есть реальные нить, трение, нормаль, тяжесть. «Центробежная» появляется в неинерциальной системе, связанной с телом.
- Можно ли найти скорость или радиус?
- Да. Обратный ход: v = √(F r / m), r = m v² / F, m = F r / v². Нулевой радиус страница не принимает. При v = 0 сила ноль.
Источники
- Сивухин Д. В. Общий курс физики. Механика.
- Иродов И. Е. Основные законы механики.
- BIPM. The International System of Units (SI).