Ускорение к центру окружности
Точка, которая держит окружность радиуса r, непрерывно поворачивает вектор линейной скорости. Даже если спидометр застыл, направление «вперёд» через долю оборота уже другое. Изменение вектора скорости — ускорение. Для окружности оно направлено к центру и называется центростремительным, иногда нормальным: перпендикуляр к касательной, вдоль радиуса внутрь. По смыслу «как меняется скорость» это кинематика; круговые постановки рядом собраны в количестве движения и вращении.
Модель страницы: плоская окружность, скорость по модулю задана, радиус постоянный. Касательного разгона нет: модуль v не растёт и не падает, пока вы сами не смените число в поле. Воздух, крен кузова и профиль шины не входят. Если нужно удержать автомобиль на вираже силами полотна и трения, это уже наклонный поворот: там ищут допустимую скорость, а не само a_c. Если нужен путь за время без поворота — средняя скорость как отношение пути ко времени, к радиусу она отношения не имеет.
Нормальное ускорение не «дополнительная» величина поверх линейного разгона: это отдельная проекция. На равномерной окружности касательная проекция равна нулю, нормальная — нет. Пилот в установившемся вираже чувствует именно a_c, хотя стрелка спидометра стоит. Путать «нет разгона» с «нет ускорения» — главная школьная ловушка этой темы.
a_c = v² / r
a_c = v² / r
Квадрат линейной скорости делят на радиус. Быстрее по дуге — ускорение к центру растёт квадратично: удвоили v, получили вчетверо большее a_c при том же r. Дальше от центра при той же v — ускорение меньше: удвоили r, a_c упало вдвое. Обратный ход: v = √(a_c r) и r = v² / a_c. Ноль радиуса страница не принимает: деление на ноль, точки окружности нет. Нулевая скорость даёт нулевое a_c: стоите на месте, вектор v не поворачивается.
Единицы внутри согласованы: метры в секунду и метры дают метры на секунду в квадрате. Семьдесят два километра в час на круге радиуса 20 м — это не «72 в квадрате делить на 20». Сначала 20 м/с, затем 400 / 20 = 20 м/с². Список единиц переводит сам; вручную подставлять километры в час в квадрат — типичный срыв порядка на два шага. Массы в формуле нет: и лёгкая точка, и тяжёлая при тех же v и r имеют одно a_c. Масса появится, когда из ускорения делают силу через F = ma.
Размерность та же, что у линейного ускорения, смысл другой. Удобная мерка «сколько g» в повороте: разделите a_c на 9,8. Это не свободное падение и не сила тяжести, а сравнение модулей. Ответ калькулятора всё равно в м/с², пока вы сами не перескажете его в g.
Тождество ω² r и вывод ω = v / r
ω = v / r
Линейная и угловая скорости на окружности связаны: v = ω r, откуда ω = v / r. Подставьте v = ω r в a_c = v² / r и получите a_c = ω² r. Это одно и то же ускорение, не вторая независимая формула «на выбор». На этой странице a_c считают из v и r. Угловая скорость — сопутствующий вывод после тех же двух чисел, а не вход, из которого собирают a_c. Если в задаче даны только ω и r, сначала восстановите v = ω r или откройте угловую скорость как отдельную связь угла, времени и ω; сюда всё равно удобнее принести уже согласованные v и r.
Радиан в секунду, не градус в секунду и не «обороты», пока не перевели. Один полный оборот — 2π радиан. Если диск делает оборот за время T, то ω = 2π / T, и тогда a_c = 4π² r / T². Период оборота как отдельный расчёт — период обращения. Здесь поля T нет специально: вопрос страницы — ускорение к центру, не сколько секунд длится круг. Не вводите ω в поле v: размерности разные, ответ сломается на порядки.
Не линейное a = (v − v₀) / t
a = (v − v₀) / t отвечает: насколько изменился модуль скорости за время, если ускорение вдоль пути считать постоянным. Разгон с 0 до 12 м/с за 3 с даёт 4 м/с² — это касательная история на прямой или по дуге, когда газ нажат. Центростремительное ускорение про другое: как быстро поворачивается направление. На равномерной окружности разность модулей v − v₀ равна нулю, линейное a по этой разности тоже ноль, а a_c при этом живое. Смешать две формулы — получить «ускорения нет, потому что спидометр не дёргается».
Если по окружности ещё и разгоняются, ускорение раскладывают: нормальная часть v² / r к центру, касательная dv/dt вдоль скорости. Калькулятор берёт только нормальную часть и предполагает, что модуль v в поле — текущее значение, а не «было / стало». Время оборота в формулу a_c напрямую не входит: оно спрятано внутри v или ω, если вы сами их так задали. Не делите «изменение направления на глаз» на секунды вместо v² / r: школьная формула уже есть результат такого предела.
Не угловое ускорение α
Угловое ускорение α измеряется в рад/с² и говорит, меняется ли ω. Равномерное вращение: ω постоянна, α = 0. Центростремительное a_c при этом как раз типично не ноль — точка всё равно бежит по дуге. Страница углового ускорения решает, разогнался вал или нет. Не подставляйте α вместо a_c и не переводите рад/с² в м/с² умножением «на глаз»: размерности разные, пока не умножили α на r для касательного линейного ускорения a_τ = α r. Это снова не a_c.
Момент силы раскручивает и даёт α через M = I α. Это динамика вращения, не нормальное ускорение точки обода. Связка момента силы отвечает на вопрос, почему ω растёт, а эта страница — куда смотрит ускорение, пока ω уже есть и круг держится. Можно иметь огромное a_c при нулевом α: установившийся поворот. Можно иметь α без большого a_c: вал почти стоит, но его только что начали крутить.
Направление и постоянный |v|
Вектор a_c всегда к центру в школьной плоской модели, не «наружу». Ощущение «выбрасывает из поворота» — инерция в неинерциальной системе: относительно земли ускорение направлено внутрь, потому что скорость поворачивают внутрь. Сила, которая это делает, тоже к центру: натяжение нити, нормаль рельса, горизонтальная проекция реакции полотна. Знак «минус к центру» в проекции на радиус-ось — договорённость чертежа, модуль a_c страница даёт положительным.
Постоянный модуль скорости не отменяет ускорение. Вектор v сейчас смотрит на восток, через четверть периода — на север: приращение скорости за это время указывает к центру дуги. Чем меньше r при той же |v|, тем резче поворот, тем больше модуль приращения за тот же промежуток. Поэтому крутой поворот «вдавливает» сильнее пологого на той же скорости. Импульс точки p = mv по модулю может быть постоянен, направление p крутится так же, как v; страница импульса считает сам p, не a_c.
В вертикальном круге a_c в каждой точке по-прежнему v² / r к центру. Складывать его с g как катеты или как сонаправленные векторы можно только по чертежу: в нижней точке натяжение нити больше веса, в верхней — иначе. Калькулятор этого сложения не делает: он отдаёт одно a_c. Вес как сила — соседняя страница тяжести, не замена нормального ускорения.
Как пользоваться
Выберите, что найти: ускорение a_c, скорость v или радиус r. Для a_c введите линейную скорость и радиус траектории. Угловая скорость появится как ω = v / r после расчёта — её не нужно угадывать заранее. Если известны a_c и r, обратный ход вернёт v. Если известны a_c и v — вернёт r. Ноль и отрицательный радиус отсекаются. Нулевое a_c при ненулевой v означает бесконечный радиус, то есть прямую: такого r страница не ищет.
Точка на ободе колеса: r — расстояние от оси до точки, v — скорость этой точки относительно оси, если ось стоит, или окружная скорость в системе, где центр круга покоится. Не берите скорость автомобиля относительно дороги, если в задаче «точка на ободе» и колесо ещё и катится: там скорость точки относительно земли гуляет от нуля до удвоенной скорости центра. Для a_c вращения вокруг оси берут окружную скорость относительно центра. Сосед центростремительная сила сразу умножит a_c на массу.
Примеры: 10 м/с на 5 м и другие
Школьная проверка: v = 10 м/с, r = 5 м. Тогда a_c = 100 / 5 = 20 м/с², ω = 10 / 5 = 2 рад/с. Обратный ход по a_c = 20 и r = 5 снова даёт v = 10. Тождество ω² r = 4 · 5 = 20 совпадает. Это не два разных ускорения, а одна величина двумя записями.
Автомобиль на плоском круге: v = 18 м/с, r = 54 м. a_c = 324 / 54 = 6 м/с², ω = 18 / 54 = 1/3 рад/с. Линейное ускорение при разгоне с 0 до 18 м/с за 6 с было бы 3 м/с² — другой вопрос, другая страница. На вираже без уклона эти 6 м/с² должна обеспечить сила трения или рельс; допустимую скорость при угле полотна считает вираж, не эта формула.
Точка на ободе диска: r = 0,35 м, v = 7 м/с. a_c = 49 / 0,35 = 140 м/с², ω = 7 / 0,35 = 20 рад/с. Число большое, потому что радиус мал, а окружная скорость уже велосипедная. Не сравнивайте 140 м/с² с g «на глаз» как свободное падение: направление к оси диска, не вниз, пока геометрия задачи своя.
Карусель: v = 6 м/с на r = 12 м даёт a_c = 3 м/с² и ω = 0,5 рад/с. Удвоили скорость до 12 м/с на том же круге — a_c стало 12 м/с², вчетверо, как и обещает квадрат. Удвоили радиус до 24 м, оставив 6 м/с — a_c упало до 1,5 м/с². Третья связка: v = 22 м/с, r = 11 м → a_c = 44 м/с², ω = 2 рад/с. Здесь ω совпало с первым примером, а a_c другое: при одинаковой угловой скорости ускорение пропорционально r, 2² · 11 = 44. Это напоминание не путать «одинаковое ω» с «одинаковым a_c».
Типичные ошибки
- Положить a_c = 0, потому что модуль скорости не меняется.
- Подставить линейное a = (v − v₀) / t вместо v² / r.
- Смешать a_c с угловым α и писать ответ в рад/с².
- Ввести ω как будто из него страница собирает a_c: здесь a_c из v и r, ω — вывод.
- Оставить скорость в км/ч и разделить квадрат на метры.
- Направить вектор «от центра», путая ощущение в салоне с ускорением относительно земли.
- Взять диаметр вместо радиуса и получить вдвое меньшее a_c.
Частые вопросы
- Какая формула центростремительного ускорения?
- К центру окружности a_c = v² / r, где v — линейная скорость по дуге, r — радиус. То же число даёт произведение ω² r, если ω уже согласована с v и r.
- Как на этой странице появляется угловая скорость?
- ω считается как вывод: ω = v / r. Чтобы найти само a_c, вводят v и r, а не ω. Поля ω как входа для a_c здесь нет.
- Почему при постоянной скорости ускорение не ноль?
- Постоянен модуль. Направление вектора v всё время поворачивается вдоль касательной, поэтому изменение скорости к центру не исчезает.
- Это a = (v − v₀) / t?
- Нет. Кинематическое ускорение вдоль прямой — отдельная страница. Там меняется модуль скорости за время. Здесь модуль может стоять, меняется направление.
- Чем это отличается от углового ускорения?
- Угловое α = Δω / Δt говорит, как разгоняется вращение. Его считает угловое ускорение. При равномерном круге α = 0, а a_c при этом не ноль.
- Какая сила даёт это ускорение?
- По второму закону нужна сила к центру F = m a_c. Модуль считает центростремительная сила. Само a_c от массы не зависит.
Источники
- Сивухин Д. В. Общий курс физики. Механика.
- Иродов И. Е. Основные законы механики.
- BIPM. The International System of Units (SI).