Момент одной силы относительно оси
Сила может сдвигать тело и может его крутить. Крутящее действие относительно выбранной оси описывает момент силы M. На этой странице одна сила, одна ось, радиус в плоскости чертежа. Формула векторного произведения в школьной записи сводится к модулю M = F r sin θ. θ берут между силой и радиусом-вектором от оси до точки приложения — не «угол к полу», пока пол не совпал с этим радиусом. Динамика поступательного сдвига — динамика; вращательный кластер рядом в количестве движения.
Дверь, гаечный ключ, штурвал, педаль: чем дальше от оси и чем ближе сила к перпендикуляру, тем больше момент. Модель не складывает несколько сил автоматически и не знает, где центр масс. Равновесие «сумма моментов ноль» вы собираете сами из нескольких запусков или на бумаге. Страница не про выигрыш рычага как простого механизма и не про золотое правило; здесь модуль момента одной силы. Вес как источник F можно взять с силы тяжести, если крутит именно mg, а не рука.
Отдельной страницы «рычаг-механизм» в этом наборе нет: вся геометрия плеча уже внутри sin θ. Не ищите второй калькулятор «момента рычага» — это и есть та страница. Две опоры, архимедов рычаг с грузами слева и справа вы сводите к нескольким моментам относительно одной оси и условию суммы ноль; калькулятор каждый момент считает по отдельности.
M = F r sin θ
M = F r sin θ
Три сомножителя: модуль силы, расстояние от оси до точки приложения, синус угла между ними. Угол в градусах в поле, внутри — синус от радианного эквивалента. θ от 0° до 180°: sin 150° = sin 30°, момент по модулю тот же, «в другую сторону» на чертеже вы отмечаете знаком сами — калькулятор модуль держит неотрицательным. Обратный ход находит F или r, если известен момент и не вырожден sin θ. Само θ целевой величиной не бывает: без угла из одной пары F, r момент не восстановить однозначно.
Плечо в другой школьной формулировке — это r sin θ, кратчайшее расстояние от оси до линии действия силы. Тогда пишут M = F · h. Это не вторая физика, а перестановка: h = r sin θ. Если в задаче дано плечо 0,4 м и сила 25 Н, момент 10 Н·м, и неважно, что r по бумаге длиннее, лишь бы h совпал. Не умножайте F на полную длину ключа, если сила идёт косо и в условии уже указано плечо.
Модуль F — ньютоны, без плеча это только сдвиг центра масс. r — метры до оси, не «длина всего ключа», если держите не за конец. Смешать r с диаметром штурвала — удвоенный момент без права на него.
Прямой угол: M = F r
При θ = 90° синус равен единице, M = F r. Так крутят гайку, когда тянут перпендикулярно ключу, и дверь, когда толкают перпендикулярно полотну у ручки. Это максимум момента при данных F и r: дальше синус только падает. Школьный пример страницы: F = 10 Н, r = 2 м, θ = 90° → M = 20 Н·м. Та же сила на том же r при 30° даёт M = 10 Н·м, потому что sin 30° = 1/2. Не «половина потому что угол маленький», а именно половина синуса.
Практический вывод: короткий ключ при прямой тяге может дать тот же момент, что длинный при скользящей. F = 48 Н на r = 0,25 м при 90° даёт 12 Н·м. F = 15 Н на r = 0,8 м при 90° — тоже 12 Н·м. Разные руки, один модуль M. Что будет с угловым ускорением, зависит уже от момента инерции тела, не от этой страницы.
Сила вдоль радиуса: момент ноль
θ = 0° или 180°: синус равен нулю, M = 0. Сила проходит через ось — тянет к шарниру или давит в него, но не закручивает вокруг него. Дверь не открыть, толкая в петли вдоль полотна к косяку; гайку не стронуть, если давить вдоль оси ключа в болт. Это не «слабая сила», это неудачная геометрия. Калькулятор при нулевом угле честно вернёт ноль момента. Обратный ход за r или F при sin θ = 0 невозможен: деление на ноль, любая сила вдоль радиуса даёт M = 0, восстановить r нельзя.
Малый угол тоже почти бесполезен: sin 5° ≈ 0,087, от F r остаётся меньше десятой. Если в задаче «силу направили почти к оси», не ждите момент как при перпендикуляре. Проекция силы на касательное направление как раз F sin θ — она и крутит. Радиальная проекция меняет реакцию в опоре, не α. Не путайте θ с углом к горизонту: если стержень наклонён, а сила — вес вниз, угол между r и F равен углу между стержнем и вертикалью, не «наклон к полу» автоматически.
Ньютон-метр здесь не джоуль
1 Н·м как произведение силы на длину совпадает по размерности с джоулем. Для работы и энергии джоуль уместен: работа силы вдоль перемещения, кинетическая энергия в разделе энергии. Момент силы — не запас энергии и не работа. Ответ «20 Дж» на вопрос «какой момент» обычно режут, даже если число 20 совпало. Пишите ньютон-метры, иногда явно «ньютон-метр момента», чтобы не спутать с работой на том же рычаге.
Работа момента — уже другой сюжет: M φ при постоянном M и угле поворота φ в радианах, единица снова джоуль. Эта страница φ не спрашивает и работу не считает. Не переводите полученный M в джоули «потому что в списке единиц мелькнуло». Здесь единица момента, не энергии вращения: энергию вращения считает сосед E_k = I ω² / 2.
Связь M = I α
Второй закон для вращения: сумма моментов равна I α. Момент инерции I — мера «насколько трудно раскрутить», для точки m на расстоянии ρ это m ρ², см. момент инерции точки. Если M есть, а I конечен, появляется угловое ускорение α = M / I. Без момента ω не меняется: равномерное вращение или покой. Именно поэтому эта страница стоит рядом с α, а не вместо второго закона для центра масс: линейный закон не знает, крутится ли тело вокруг оси.
Момент импульса L = I ω меняется, когда есть внешний момент: dL / dt = M в простой модели. Постоянный M разгоняет L линейно по времени. Импульс точки p = mv при этом может жить своей жизнью, если ось не центр масс. Не подставляйте p вместо M и не ищите момент как «силу умножить на скорость». Не складывайте моменты как катеты, если они вокруг одной оси: знаки плюс и минус, алгебра, не корень из суммы квадратов.
Как пользоваться
Выберите момент, силу или расстояние до оси. Введите два из тройки F, r, M и обязательно угол. Для «силу тянут перпендикулярно» поставьте 90°, не оставляйте 0° по умолчанию, если в задаче прямой угол. Для силы вдоль стержня к оси поставьте 0° и получите ноль — это проверка, не ошибка калькулятора. Угол 90° в поле — градусы; не вводите π/2, думая, что это «уже радианы», если единица стоит «градус».
Ось должна быть той, относительно которой спрашивают. Момент силы тяжести груза на конце стержня считают от шарнира, не «от середины стержня», пока в условии не выбрали другую ось. Несколько сил — несколько моментов, знаки по направлению «по часовой / против». Калькулятор один знак модуля. Сосед по линейному сдвигу — F = ma; раскрутку после момента считает угловое ускорение.
Примеры: 10 Н на 2 м и другие
База: F = 10 Н, r = 2 м, θ = 90°. M = 10 · 2 · 1 = 20 Н·м. При θ = 30° те же F и r дают 10 Н·м. При θ = 0° момент 0. Обратный ход: M = 20 Н·м, r = 2 м, θ = 90° → F = 10 Н. При θ = 0° обратный ход за F или r не строится.
Дверь: ручка на 0,8 м от петель, толкают 15 Н перпендикулярно полотну. M = 12 Н·м. Если толкать под 60° к радиусу (к полотну, если радиус вдоль двери): sin 60° = √3 / 2, M = 15 · 0,8 · 0,866… ≈ 10,39 Н·м. Почти прямой угол почти не теряет; скос 30° от перпендикуляра уже заметнее, чем кажется «на глаз».
Ключ: F = 36 Н, r = 0,15 м, θ = 90°. M = 5,4 Н·м. Тот же момент косой тягой: F = 36 Н, r = 0,15 м, θ = 30° → M = 2,7 Н·м, вдвое меньше. Чтобы вернуть 5,4 Н·м при 30°, нужна сила 72 Н — рука упирается, геометрия виновата, не «слабый болт».
Стержень с грузом: mg = 20 Н на конце r = 0,6 м, стержень горизонтален, сила тяжести вертикальна, угол между радиусом вдоль стержня и силой 90°. M = 12 Н·м относительно шарнира. Поднимите стержень на 30° к горизонту: угол между радиусом и вертикалью станет 60°, M = 20 · 0,6 · sin 60° ≈ 10,39 Н·м. Не оставляйте sin 90°, если стержень уже не горизонтален. Четвёртая связка: F = 25 Н, r = 0,4 м, 90° → M = 10 Н·м — короткое плечо, заметная сила, число удобно сверить вручную.
Типичные ошибки
- Забыть sin θ и всегда писать M = F r.
- Взять угол к горизонту вместо угла между F и r.
- Назвать ответ джоулями.
- Подставить диаметр штурвала вместо радиуса до точки хвата.
- Искать здесь угловое ускорение без I.
- Ждать, что страница сложит моменты трёх сил сама.
- Ввести 0° «на всякий случай» и удивиться нулю момента.
Частые вопросы
- Какая формула момента силы?
- M = F r sin θ. θ — угол между вектором силы и радиусом-вектором от оси до точки приложения. При θ = 90° получается M = F r.
- Почему при нулевом угле момент равен нулю?
- sin 0° = 0. Сила вдоль радиуса тянет к оси или от оси и не создаёт вращающего действия относительно этой оси.
- Это энергия в джоулях?
- Нет. Совпадает только размерность Н·м. Джоуль — единица работы и энергии, например поступательной кинетической. Момент силы — другое понятие.
- Зачем момент, если есть F = ma?
- Второй закон разгоняет центр масс. Вращение вокруг оси даёт M = I α: без момента нет углового ускорения при ненулевом I.
- Можно ли найти силу или плечо?
- Да. Обратный ход: F = M / (r sin θ) и r = M / (F sin θ), если sin θ не ноль. Угол страница не ищет — его задаёте вы.
- Что брать за r и за θ?
- r — расстояние от оси до точки, где приложена сила, не длина всего рычага «на глаз». θ — между силой и этим радиусом, не между силой и горизонтом, если ось не вертикальна в чертеже.
Источники
- Сивухин Д. В. Общий курс физики. Механика.
- Иродов И. Е. Основные законы механики.
- BIPM. The International System of Units (SI).