Касательное напряжение при кручении
Когда круглый вал, ось или стержень крутят вокруг продольной оси, в материале возникают касательные напряжения τ. Формула τ = T r / J связывает крутящий момент T, расстояние r от оси до рассматриваемого волокна и полярный момент инерции сечения J. На наружных волокнах τ обычно максимально — там контролируют прочность.
Контрольный расчёт: T = 10 Н·м, r = 0,01 м, J = 10⁻⁸ м⁴ → τ = 10·0,01 / 10⁻⁸ = 10⁷ Па = 10 МПа. Это не срез заклёпки τ = F/A и не момент инерции материальной точки I = m r² в кг·м². Раздел: прочность и деформации.
Кручение встречается в валах редукторов, карданных штоков, ключах и болтах с крутящей нагрузкой. Сначала находят T из равновесия или мощности, затем J по геометрии сечения, потом τ на опасном радиусе.
τ = T r / J
τ = T r / J
Четыре поля: τ, T, r, J. По умолчанию паскаль, ньютон-метр, метр, метр в четвёртой степени. Обратный ход: найти момент, радиус или J. Нулевой J запрещён — деление на ноль.
T берётся из условия задачи или из крутящего момента как физической величины с единицей Н·м. Страница не подставляет «момент силы» без сечения: нужны и T, и J, и r.
J — полярный момент инерции площади поперечного сечения относительно оси вала. Для сплошного круга в тетради J = πd⁴/32, но на этой странице J — входное число, диаметр d автоматически не переводится.
Не срез и не момент точки
Не касательное среза τ = F/A: там сила F параллельна плоскости среза штифта или заклёпки. При кручении нагрузка — момент T, распределение τ по радиусу описывает J и r.
Не осевое σ = F/A: растяжение-сжатие вдоль оси даёт нормальные напряжения, не касательные от крутки. Не изгиб σ = M y / I: там изгибающий момент и осевой момент инерции I, другая формула и другая картина поля напряжений.
Не I = m r² материальной точки в кг·м² — это механика вращательного движения, не сопромат сечения. Не I = b h³ / 12 прямоугольника без перевода в полярный J для круглого вала.
Не пружина F = kΔx и не F = m a вместо T: крутящий момент — пара сил с плечом, единица Н·м. Не коэффициент запаса: сначала τ, потом сравнение с [τ].
Как пользоваться
Оставьте пустым одно поле — калькулятор найдёт его. Укажите T в ньютон-метрах: 10 Н·м, не «10 ньютонов без плеча». r — в метрах, часто наружный радиус вала: d = 20 мм → r = 0,01 м.
J вводите в м⁴. Для круга d = 20 мм в тетради J = π·(0,02)⁴/32 ≈ 1,57·10⁻⁸ м⁴ — число готовите вы, страница формулу πd⁴/32 не открывает. Полый вал: J = π(R⁴ − r⁴)/2 по справочнику.
Единицы согласуйте: МПа = 10⁶ Па. Родительский хаб: инженерия. После τ при необходимости свяжите с модулем Юнга и деформацией в составных задачах — здесь только τ = T r / J.
Примеры
1. Прямая. T = 10 Н·м, r = 0,01 м, J = 10⁻⁸ м⁴ → τ = 10·0,01 / 10⁻⁸ = 10⁷ Па.
2. Момент. τ = 10⁷ Па, r = 0,01 м, J = 10⁻⁸ м⁴ → T = τ J / r = 10 Н·м.
3. Полярный момент. T = 10 Н·м, τ = 10⁷ Па, r = 0,01 м → J = T r / τ = 10⁻⁸ м⁴.
4. Радиус. T = 10 Н·м, τ = 10⁷ Па, J = 10⁻⁸ м⁴ → r = τ J / T = 0,01 м.
5. Запрет. J = 0 при поиске τ — деление невозможно.
Ещё задачи
Вал d = 40 мм, r = 0,02 м на поверхности. J = π·0,04⁴/32 ≈ 2,51·10⁻⁷ м⁴ считаете в тетради. При T = 200 Н·м τ = 200·0,02 / (2,51·10⁻⁷) ≈ 1,59·10⁷ Па ≈ 16 МПа.
На оси вала r = 0 → τ = 0 по формуле: касательные напряжения нулевы в центре круга. Контроль — на периферии.
Полый вал: наружный r = R, внутренний r = r₀. J меньше, ч у сплошного, но r на стенке может быть большим — сравнивайте τ на наружной и внутренней поверхности отдельно.
Два участка вала разного J при одном T: τ = T r / J — на тонком участке при том же r напряжение выше. Перед запасом берите худший участок.
Связь с моментом: мощность P = ω T при постоянной ω; T находят из кинематики, затем τ. Страница мощность не считает.
Не подставляйте F/A: при T = 10 Н·м нет одной силы F на площади A для этой формулы.
Ключ на болте: T задаётся ключом, τ в резьбе — другая модель; здесь однородный круглый стержень с известным J.
Контрольный якорь: 10, 0,01 и 10⁻⁸ → 10⁷. Удвоили J при тех же T и r — τ уменьшилось вдвое.
Сталь: допускаемое [τ] вводите сами для сравнения с найденным τ. Удлинение стержня при чистом кручении не заменяет проверку τ.
Осевое напряжение при совмещённой нагрузке складывают по правилам сопромата отдельно; эта страница только кручение.
Школа: вал и полярный момент
Образ: откручиваете гайку ключом. Рука прикладывает силу на плече — получается T. Внутри болта или вала материал сопротивляется: касательные слои «скручиваются», τ растёт от центра к краю.
Аналогия с wringing out wet towel: края движутся с большим r, там больше деформация — больше τ при том же T, если J фиксирован.
Памятка: T в Н·м; r — расстояние от оси; J — м⁴, полярный; не F/A; не m r² точки; J не считается из d на странице.
Единица Па для τ — ньютон на квадратный метр, как у нормального напряжения, но физика касательная.
Контроль: перепутали J с I прямоугольника bh³/12 — ответ на порядки неверен. Полярный J круга и осевой I — разные интегралы.
Итог: τ = T r / J, четыре неизвестных, J = 0 запрещён. Соседи — срез, изгиб, момент, запас.
Чертёж: круглое сечение, ось z, стрелка T вокруг оси, точка на окружности r — подпись τ.
Линейное распределение τ по r для упругого круга — основа формулы; за пределом упругости нужны другие модели, не эта страница.
Хаб прочность собирает цепочку от момента до напряжения.
Привод, вал и сечение
Редуктор: T на выходном валу из передаточного отношения и момента на двигателе. J — по d вала из чертежа, число в м⁴ вводите вы. τ на поверхности сравнивают с [τ] стали.
Карданный вал: несколько сечений — проверяют каждое. Меньше J на шпоночном пазу иногда учитывают пониженным J в задаче.
Двухэтапный вал: ступень d₁ и d₂, разные J₁ и J₂ при одном T. τ₁ и τ₂ на наружных r — два расчёта.
Кручение плюс осевое растяжение: τ и σ считают отдельно, эквивалентное напряжение — вне этой страницы.
Якорь: T = 10 Н·м, r = 1 см, J = 10⁻⁸ м⁴ → 10⁷ Па. Запомните порядок величины для учебных задач.
Болт только на срез: T не участвует. Болт на кручение — нужны T, J, r.
Температура меняет модуль, но τ = T r / J от геометрии и T; [τ] может меняться с температурой — таблицы вводите сами.
Родитель: инженерия. Момент инерции прямоугольника — для балок, не для круглого вала без перевода в J.
После τ переходят к коэффициенту запаса, если τ должно быть «меньше» допускаемого [τ].
Лабораторный образец-круг: T из датчика момента, r = R образца, J из калибра — протокол совпадает с формулой.
Крутильный стенд и единицы
Образец-круг фиксируют, прикладывают T, измеряют угол закручивания. Для упругой стадии τ = T r / J на периферии r = R.
J измеряют геометрией: микрометр d, три измерения, J = πd⁴/32 в протоколе — в калькулятор подставляете готовое J.
Запись: «τ = 12,5 МПа при T = 25 Н·м, r = 0,015 м, J = 3,0·10⁻⁸ м⁴». Единицы Па, не смешивать с кгс·см.
Датчик момента калибруют в Н·м. Не подписывайте «кг·м» без перевода: 1 кгс·м ≈ 9,81 Н·м.
После разрушения анализируют другую τ по площади надлома; рабочий расчёт — по начальному J и r.
Типичные ошибки
- Подставить формулу среза τ = F/A вместо T r / J.
- Взять I = m r² материальной точки вместо полярного J сечения.
- Ждать автоматический расчёт J = πd⁴/32 из диаметра на странице.
- Перепутать r (радиус волокна) с половиной диаметра без перевода в метры.
- Нулевой J или r = 0 при поиске τ на оси как максимума.
Соседи: касательное среза, осевое напряжение, изгиб, момент инерции прямоугольника, крутящий момент, коэффициент запаса.
Частые вопросы
- Как найти τ при кручении круглого вала?
- τ = T r / J. T — крутящий момент в ньютон-метрах, r — расстояние от оси до точки волокна, J — полярный момент инерции сечения в м⁴. T = 10 Н·м, r = 0,01 м, J = 10⁻⁸ м⁴ → τ = 10⁷ Па.
- Чем отличается от τ = F/A?
- Касательное среза τ = F/A — сила лежит в плоскости среза заклёпки. Здесь вал крутят: T и полярная геометрия J, не прямой срез F на A.
- Страница считает J из диаметра?
- Нет. J вводите готовым числом из справочника или предыдущего шага. Формула J = πd⁴/32 для круга здесь не подставляется автоматически.
- Что такое r?
- Радиус точки, где ищете напряжение: часто наружный радиус вала, но может быть и внутренняя точка полого стержня. Это не автоматически «половина J».
- Связь с моментом и запасом?
- Крутящий момент T задаётся нагрузкой. После τ сравните с допускаемым через коэффициент запаса, если [τ] известен.
- Где хаб?
- Прочность и деформации и инженерия.
Источники
- Учебное сопротивление материалов: σ = F/A, ε = ΔL/L, E = σ/ε, ΔL = FL/AE, τ = Tr/J, σ = My/I.
- СИ: напряжение в паскалях (Н/м²). Допустимое напряжение задаёт пользователь, не марка стали.