Осевой момент инерции прямоугольника
Момент инерции площади I показывает, насколько «размазана» площадь относительно оси — ключ к жёсткости балки при изгибе. Для прямоугольника с шириной b и высотой h формула I = b h³ / 12 даёт осевой момент относительно центральной оси, параллельной стороне b. Сторона h стоит в кубе, потому что перпендикулярна этой оси.
Контрольный расчёт: b = 0,12 м, h = 0,1 м → I = 0,12·0,001/12 = 10⁻⁵ м⁴. Единицы — метр в четвёртой степени, не кг·м². Это не I = m r² материальной точки и не полярный J круга. Раздел: прочность и деформации.
I прямоугольника — первый шаг перед расчётом σ = M y / I и оценкой прогиба. Чем больше I при тех же b и h, тем меньше напряжения и прогиб — поэтому балки ставят «на ребро».
I = b h³ / 12
I = b h³ / 12
Три поля: I, b, h. По умолчанию м⁴ и метры. Обратный ход: ширина или высота. h = 0 запрещён — нулевая высота лишает смысла куб h³.
Ось проходит через центр тяжести сечения и параллельна стороне b. Если ось параллельна h, в учебнике пишут I = h b³ / 12 — роли b и h меняются. На странице b — ширина, h — высота по подписи полей; ориентацию оси задаёте вы при выборе, что есть h.
Результат подставляют в формулу изгиба. Страница не считает M, y или σ — только I = b h³ / 12.
Не точка и не полярный J
Не I = m r² массы точки: там m в килограммах, r — расстояние до оси вращения тела, единицы кг·м². Здесь интеграл по площади сечения, м⁴.
Не полярный момент J = πd⁴/32 круга для кручения τ = T r / J. Прямоугольник при кручении — другая геометрия, не эта формула.
Не σ = F/A: площадь A = b·h, но I — не площадь, а геометрическая характеристика сопротивления изгибу.
Не крутящий момент и не τ = F/A: I участвует в изгибе, не в прямом срезе. Не модуль E: E — свойство материала, I — геометрия.
Не пружина, не F = m a, не запас: сначала I, потом σ, потом n.
Как пользоваться
Оставьте пустым одно поле. b и h — в метрах: 120 мм → 0,12 м, 100 мм → 0,1 м. Перепутали миллиметры и метры — I «улетит» на степени десяти.
Определите, какая сторона перпендикулярна оси изгиба — она идёт в куб как h. Доска 120×100 мм на ребро 120 мм: если ось горизонтальна через 100 мм, h = 0,1 м, b = 0,12 м.
Единицы I — м⁴. См⁴ переводят: 1 см⁴ = 10⁻⁸ м⁴. Хаб: инженерия.
Примеры
1. Прямая. b = 0,12 м, h = 0,1 м → I = 0,12·0,1³/12 = 0,12·0,001/12 = 10⁻⁵ м⁴.
2. Ширина. I = 10⁻⁵ м⁴, h = 0,1 м → b = 12 I / h³ = 12·10⁻⁵ / 0,001 = 0,12 м.
3. Высота. I = 10⁻⁵ м⁴, b = 0,12 м → h = ³√(12 I / b) = ³√(12·10⁻⁵ / 0,12) = 0,1 м.
4. Масштаб. b = 0,06 м, h = 0,2 м → I = 0,06·0,008/12 = 4·10⁻⁵ м⁴. Удвоили h — I выросло в 8 раз.
5. Запрет. h = 0 при поиске I — ошибка ввода.
Ещё задачи
Доска «на пласть» b = 0,2 м, h = 0,06 м: I = 0,2·0,06³/12 ≈ 3,6·10⁻⁶ м⁴. Та же доска «на ребро» b = 0,06 м, h = 0,2 м: I ≈ 4·10⁻⁵ м⁴ — в 11 раз больше. Ориентация решает.
Подставьте I = 10⁻⁵ м⁴ в σ = M y / I при M = 200 Н·м, y = 0,05 м → σ = 10⁶ Па — согласованная цепочка.
Два прямоугольника одинаковых b и h: I одинаков при той же оси. Составное сечение — сумма I с переносом осей в сопромате, не одна формула bh³/12 без теории.
Полый прямоугольник — другая формула; здесь сплошной прямоугольник b×h.
Сравнение с I = m r²: масса 2 кг, r = 0,5 м → 0,5 кг·м² — другие единицы, другая физика. Не складывайте с м⁴.
Контрольный якорь: 0,12 и 0,1 → 10⁻⁵. Увеличили b вдвое — I удвоилось при том же h.
Кручение круглого вала использует J, не I = bh³/12. Прямоугольный вал на кручение — вне этой страницы.
Деформация и удлинение не требуют I; изгиб — требует.
После I переходят к запасу через σ, не напрямую.
Сталь и дерево: I одинаков при одной геометрии; E и [σ] различаются на следующих шагах.
Школа: b, h и ось
Образ: прямоугольник нарисован: горизонтальная ось через центр. Ширина вдоль оси — b, высота вверх — h. I = b h³ / 12: h в кубе, потому что материал дальше от оси по вертикали.
Аналогия: широкая плоская линейка легко сгибается «на плоскость», трудно — «на ребро». Больше h перпендикулярно изгибу — больше I.
Памятка: h перпендикулярна оси; м⁴; не m r²; не J круга; b и h в метрах.
Куб h³: удвоили h — I в 8 раз больше. Линейный рост b даёт линейный рост I.
Контроль: перепутали b и h при данной оси — I неверен. Ось параллельна h → нужна формула h b³ / 12.
Итог: I = b h³ / 12, три неизвестных, h = 0 запрещён. Сосед — изгиб, контраст — точка m r².
Чертёж: прямоугольник, центральная ось, подписи b, h, стрелка изгиба перпендикулярна оси.
Интеграл I = ∫ y² dA по площади — источник формулы; bh³/12 — результат для прямоугольника.
Хаб прочность связывает I с напряжением и жёсткостью.
Брус, полка, сечение
Деревянный брус 120×100 мм для балки: I = 0,12·0,1³/12 = 10⁻⁵ м⁴ — готовое число для изгиба.
Полка консоли: тонкая пластина b большая, h малая — I мал, σ велик при том же M. Увеличивают h ребра жёсткости.
Бетонная плита в упрощении: прямоугольное приведённое сечение — b и h по методичке, I по формуле.
Стальной лист: ориентация проката влияет на эффективные b, h — в задаче часто даны готовые размеры.
Якорь: 0,12 м и 0,1 м → 10⁻⁵ м⁴. Запомните для проверки калькулятора.
Сравнение с кругом: для диаметра d I = πd⁴/64 — другая формула; прямоугольник — bh³/12.
Осевое напряжение использует A = b·h, не I. Площадь и момент инерции — разные величины.
Родитель: инженерия. Момент силы в динамике — не путать с I сечения.
Требование жёсткости «прогиб меньше ℓ/250» использует E и I; эта страница даёт только I.
Лабораторный образец-призма: измеренные b, h → I в протоколе → σ в изгибе.
Измерение b и h
Штангенциркуль или микрометр: три измерения b и h, среднее. Прямоугольник должен быть ровным; скос края занижает h.
Запись: «I = 1,00·10⁻⁵ м⁴ при b = 120,0 мм, h = 100,0 мм». Перевод в метры перед формулой.
Сравнение с эталоном сортамента: допуск ±0,5 мм меняет I заметно из-за h³.
Не путайте массовый момент на маятниковом стенде — другой опыт.
После I передают значение в расчёт напряжения изгиба без повторного ввода b, h, если I уже зафиксирован.
Типичные ошибки
- Подставить I = m r² точки вместо b h³ / 12.
- Взять h параллельно оси вместо перпендикулярной стороны в кубе.
- Перепутать b и h при заданной ориентации изгиба.
- Оставить миллиметры без перевода в метры.
- Ждать полярный J круга на странице прямоугольника.
Соседи: напряжение изгиба, момент инерции точки, кручение, осевое напряжение, деформация, модуль Юнга.
Частые вопросы
- Как найти I прямоугольного сечения?
- I = b h³ / 12 относительно оси через центр, параллельной стороне b. b = 0,12 м, h = 0,1 м → I = 0,12·0,1³/12 = 10⁻⁵ м⁴.
- Что означает h в кубе?
- h — сторона, перпендикулярная оси, вокруг которой считаете I. Ось параллельна b — в кубе именно h. Поменяли ориентацию — поменялись b и h.
- Чем отличается от I = m r²?
- I = m r² — момент инерции материальной точки при вращении, единицы кг·м². Здесь I площади сечения, м⁴, для изгиба σ = M y / I.
- Это полярный J круга?
- Нет. J = πd⁴/32 — для кручения круглого вала. Прямоугольник: I = b h³ / 12, не J.
- Связь с изгибом?
- Найденный I подставляют в σ = M y / I. Сначала геометрия I, потом напряжение.
- Где хаб?
- Прочность и деформации и инженерия.
Источники
- Учебное сопротивление материалов: σ = F/A, ε = ΔL/L, E = σ/ε, ΔL = FL/AE, τ = Tr/J, σ = My/I.
- СИ: напряжение в паскалях (Н/м²). Допустимое напряжение задаёт пользователь, не марка стали.