Удлинение стержня по Гуку
Удлинение упругого стержня при осевой силе: ΔL = F L / (A E). Пять величин: сила F, длина L, площадь A, модуль Юнга E и искомое ΔL. Это закон Гука для одномерного растяжения бруса, не формула coil-пружины.
Контроль: F = 100 Н, L = 1 м, A = 0,01 м², E = 10⁶ Па → ΔL = 100·1 / (0,01·10⁶) = 0,01 м. Хаб: прочность и деформации.
Чем больше L или F, тем больше ΔL. Чем больше A или E, тем меньше ΔL — жёстче сечение и материал.
ΔL = F L / (A E)
ΔL = F L / (A E)
Пять полей, одно пустое. Единицы согласуйте: E в Па, A в м², L и ΔL в м, F в Н. Обратные формулы эквивалентны перестановке.
Из σ = F/A и ε = ΔL/L следует σ = Eε, откуда и получается ΔL = FL/(AE). Страница считает напрямую.
Не пружина F = kΔx
Не F = kΔx: там одна жёсткость k готовой пружины, нет площади и E. k зависит от числа витков и диаметра проволоки.
Не сдвиг τ = F/A: здесь осевая деформация, не срез.
Не коэффициент запаса: ΔL — перемещение, не сравнение с [σ].
Не изгиб балки с прогибом δ = f(q, L, E, I) — другая формула с моментом инерции.
Как пользоваться
Введите четыре величины, найдите пятую. F из динамики или равновесия. E из справочника или E = σ/ε.
A — поперечное сечение, L — длина между закреплениями вдоль оси силы. Для системы из двух стержней считайте каждый отдельно.
Раздел: инженерия.
Примеры
1. Прямая. F = 100 Н, L = 1 м, A = 0,01 м², E = 10⁶ Па → ΔL = 0,01 м.
2. Сила. ΔL = 0,01 м, L = 1 м, A = 0,01 м², E = 10⁶ Па → F = 100 Н.
3. Модуль. ΔL = 0,01 м, F = 100 Н, A = 0,01 м², L = 1 м → E = 10⁶ Па.
4. Запрет. A = 0 → деление на ноль.
5. Сталь. F = 50 кN, L = 2 м, A = 500 мм² = 5·10⁻⁴ м², E = 2·10¹¹ Па → ΔL = 50 000·2 / (5·10⁻⁴·2·10¹¹) = 10⁻³ м = 1 мм.
Ещё задачи
Алюминиевый прут: E = 7·10¹⁰ Па, те же F, L, A что у стали — ΔL больше примерно в 2,86 раза, потому что E меньше.
Удвоили L при тех же F, A, E — ΔL удвоилось. Удвоили A — ΔL уменьшилось вдвое.
Проверка через ε = ΔL/L: ε = 0,01/1 = 0,01; σ = F/A = 10 000 Па; E = σ/ε = 10⁶ Па — согласовано.
Обратная задача: допустимое ΔL = 2 мм, найти F при известных L, A, E.
Два стержня параллельно делят F пополам — в каждом своя сила для подстановки.
Контрольный якорь: 100, 1, 0,01, 10⁶ → 0,01 м.
Температура добавляет ΔL_тепл = αLΔT — складывают в тетради, страница α не принимает.
Сжатие: F сжимающее, ΔL отрицательное по знаку в полной записи; модуль силы даёт величину укорочения.
После σ проверьте n, после ΔL — допуск перемещений в конструкции.
Два стержня последовательно (одна сила, разные A и L): ΔL суммируют — ΔLобщ = ΔL₁ + ΔL₂, каждый член считают отдельно на этой странице.
Стальной тянущий элемент L = 3 м, F = 30 кN, A = 600 мм², E = 2·10¹¹ Па → ΔL = 30 000·3 / (6·10⁻⁴·2·10¹¹) = 7,5·10⁻⁴ м = 0,75 мм — прикидка для монтажного зазора.
Школа: пять величин стержня
Образ: резиновый и стальной стержни одинаковых L и A — при одной F стальной ΔL меньше из-за большего E.
Вывод: из σ = Eε, σ = F/A, ε = ΔL/L получают ΔL = FL/(AE) — три определения, одна формула.
Памятка: не пружина; E материала; A сечения; L начальная длина; F осевая.
Жёсткость стержня на растяжение k_ст = AE/L — уже похоже на пружину, но выводится из геометрии и E.
Контроль: забыли перевести мм² — ΔL «на миллион» неверно.
Итог: пять полей, упругая ось, не kΔx.
Хаб прочность связывает все шаги.
Сосед закон Гука — для пружин школьного набора.
Малые ΔL: ε «меньше» предела текучести — линейность обычно OK.
Трос, колонна, стойка
Лифтовой трос: L высоты шахты, A по числу проволок, E стали, F от кабины — ΔL для проверки зазоров.
Короткая стойка сжатия: та же формула по модулю для укорочения при сжимающей F.
Предварительно натянутый болт: F натяжения даёт ΔL, влияет на силу после посадки — уточняйте последовательность нагружения в задаче.
Композитный стержень: эквивалентный E в паспорте — подставляйте в формулу как одно число.
Якорь: при F = 100 Н, L = 1 м, A = 0,01 м², E = 10⁶ Па → ΔL = 1 см.
Связь с процентами: «удлинение 0,1 %» → ε = 0,001, ΔL = εL.
Родитель: инженерия.
Динамика: статический F для первой оценки ΔL; колебания — другой раздел.
После расчёта σ убедитесь, что не вышли за [σ] через запас.
Тонкий длинный стержень: устойчивость Эйлера может наступить раньше большого ΔL по этой формуле.
Измерение ΔL и проверка E
Разрывная машина: измерили ΔL, F, знали L₀, A — вычислили E = FL/(AΔL) для сравнения с таблицей.
Экстенсометр на базе 50 мм: ΔL локальное, для полного стержня L — длина между захватами.
Протокол: «F = 100 Н, ΔL = 10 мм, L = 1 м → ε = 0,01, E = 10⁶ Па при A = 0,01 м²».
Повторные циклы: остаточное ΔL после разгрузки — уже не упругость, формула не для пластики.
Три измерения ΔL — среднее перед обратным расчётом E.
Типичные ошибки
- Подставить k пружины вместо AE/L.
- Забыть перевести мм² в м².
- Взять L диаметра вместо длины стержня.
- E в МПа без перевода в Па.
- Нулевые A, E или L в знаменателе.
Соседи: закон Гука пружины, модуль Юнга, деформация, напряжение, линейное тепловое расширение без силы.
Частые вопросы
- Как найти удлинение стержня?
- ΔL = F L / (A E). F = 100 Н, L = 1 м, A = 0,01 м², E = 10⁶ Па → ΔL = 0,01 м.
- Чем отличается от пружины?
- F = kΔx — жёсткость k целой пружины. Здесь стержень: нужны L, A и модуль E материала.
- Можно найти F, L, A или E?
- Да, любое из пяти полей. A = 0 или E = 0 или L = 0 при типичных обратных расчётах запрещены.
- Линейная область?
- Формула верна в упругой зоне. Большое ΔL может означать пластику — проверяйте σ и ε.
- Где хаб?
- Прочность и деформации и инженерия.
Источники
- Учебное сопротивление материалов: σ = F/A, ε = ΔL/L, E = σ/ε, ΔL = FL/AE, τ = Tr/J, σ = My/I.
- СИ: напряжение в паскалях (Н/м²). Допустимое напряжение задаёт пользователь, не марка стали.