Брусок вдоль склона
Тело на наклонной плоскости разгоняется вдоль поверхности, не вертикально вниз. Сила тяжести mg даёт составляющую mg sin α «вниз по доске». Нормальная реакция mg cos α прижимает к доске; трение скольжения μN направлено вверх по склону, если тело едет вниз. Равнодействующая вдоль склона делённая на массу — ускорение a. Раздел: динамика.
Модель: кинетическое трение, без качения, без воздуха, склон неподвижен. Положительное a — вниз по склону. Если μ велико, формула может дать отрицательное a: из покоя брусок не стронется, нужна другая постановка про трение покоя.
a = g (sin α − μ cos α)
a = g (sin α − μ cos α)
Масса сократилась: и вес, и трение пропорциональны m, поэтому a от массы не зависит — как у свободного падения, только слабее. Обратный ход: μ по известным a и α, или угол по a и μ. g по умолчанию 9,80665 м/с², в школьной задаче часто ставят 10.
Угол в градусах переводится во внутренние радианы сам. α = 90° и μ = 0 — свободное падение, a = g. α = 0° и μ = 0 — горизонталь без разгона, a = 0.
Без трения: a = g sin α
Идеально гладкая доска: остаётся только проекция веса. При 30° sin 30° = 1/2, a = g/2. При 0° брусок не едет. Это не «половина g всегда», а половина именно на 30°. Составляющие 3–4–5 на угле arcsin(3/5) дают другие числа.
Собрать проекции веса вручную и сложить как катеты можно на странице равнодействующей по осям; здесь оси уже выбраны вдоль склона и по нормали, и ответ сразу ускорение.
Не кинематическое ускорение
a = (v − v₀) / t отвечает «как менялась скорость», не «почему». Если в задаче даны скорости вверху и внизу склона и время — кинематика. Если даны угол и μ — эта страница. Связать потом: зная a, путь вдоль склона и время, можно проверить v = v₀ + at, но поля скоростей здесь нет специально.
Второй закон в общем виде — F = ma. На склоне F вдоль доски как раз m a = mg sin α − μ mg cos α; после деления на m получается наша формула.
Как пользоваться
Выберите ускорение, коэффициент трения или угол. Введите известные. Для гладкой доски поставьте μ = 0, не оставляйте поле пустым. Высоту горки и длину ската не пишите: это не путь. Критический угол покоя без a — угол трения. Соседи: машина Атвуда — две связанные массы, не склон; вираж держит окружность, не разгон вдоль доски.
Угол 0–90°. Больше 90° — уже «склон нависает», школьная доска так не ставят; калькулятор поле ограничивает. μ обычно доли единицы, но бывает больше 1 у резины по бетону. Отрицательное μ страница как ввод не принимает: направление трения уже заложено «вверх по склону» в формуле. Качение цилиндра со склона — другая задача: часть энергии в вращение, ускорение меньше g sin α даже без μ скольжения.
Пример: 30° и g = 10
μ = 0 → a = 5 м/с². При μ = 0,2: a = 10 (0,5 − 0,2 · √3/2) ≈ 3,27 м/с². Трение съело часть проекции веса. Если «измерили» a = 11 м/с² при g = 10, угла не существует: быстрее свободного падения вдоль любой доски школьная модель не разгоняет.
Работа силы тяжести на вертикальном смещении связана с mgh, не с этой формулой напрямую. КПД наклонной как простого механизма — другая страница энергии, здесь только a.
Старт из покоя: если μ больше tan α, статическое трение (в простой оценке тот же μ) удерживает брусок. Формула скольжения тогда не описывает покой: она про уже едущее тело. Положительное a из калькулятора — сигнал, что при кинетическом μ склон «выигрывает». Нуль при μ = tan α — предельный случай равномерного скольжения после толчка.
Школьный брусок 2 кг на 30° без трения при g = 10: a = 5 м/с² независимо от 2 кг. Равнодействующая вдоль склона 10 Н, проверка через F = ma: 2·5 = 10. Масса нужна силе, не этому a. Если в задаче дан путь вдоль доски и спрашивают время из покоя, t = √(2s/a) — кинематика после этой страницы, не вместо неё.
Типичные ошибки
- Взять a = g cos α вместо g sin α.
- Подставить α в радианах, оставив единицы «градусы», или наоборот.
- Искать a из скоростей на этой странице.
- Забыть, что μ = 0 нужно ввести явно.
- Считать, что тяжёлый брусок едет быстрее: в модели масса сокращается.
- Взять α от вертикали, а не от горизонта, и подставить в ту же формулу без пересчёта.
- Смешать градусы угла с радианами вручную, обойдя список единиц.
Частые вопросы
- Какая формула ускорения на наклонной?
- Вниз по склону при сухом трении скольжения a = g (sin α − μ cos α). α — угол между склоном и горизонтом.
- Что если трения нет?
- μ = 0, тогда a = g sin α. При α = 30° и g = 10 м/с² ускорение 5 м/с².
- Это a = (v − v₀) / t?
- Нет. Кинематическое ускорение из скоростей — отдельная страница. Здесь причину даёт проекция веса и трение.
- Почему не a = g cos α?
- cos α входит в нормальную реакцию N = mg cos α и в трение μN. Вдоль склона тянет mg sin α. Путать sin и cos — частая ошибка.
- Можно ли найти коэффициент трения?
- Да: μ = (sin α − a/g) / cos α, если угол не 90°. Отрицательное μ значит, что введённое a больше, чем без трения — проверьте числа.
- Где сила трения как μN?
- Модуль F = μN считает сила трения. На склоне N ещё нужно найти: N = mg cos α.
Источники
- Сивухин Д. В. Общий курс физики. Механика.
- Иродов И. Е. Основные законы механики.
- BIPM. The International System of Units (SI).