Отлёт по параболе
Вторая космическая скорость — наименьшая скорость отлёта на бесконечность без двигателя: кинетическая энергия равна глубине гравитационной ямы. Формула v = √(2 G M / r) в точке на расстоянии r от центра.
Контроль: G = 1, M = 8, r = 2 → v = √8 ≈ 2,828. Раздел: тяготение Ньютона.
У поверхности Земли школьное число ≈ 11,2 км/с. Это не скорость круговой орбиты 7,9 км/с.
v = √(2 G M / r)
v = √(2 G M / r)
Поля v, G, M, r. Двойка под корнем обязательна. Обратный ход — масса центра и расстояние. G константа.
Не круговая орбита
Не v = √(GM/r): круг остаётся связанным. Не период 2πr/v — у параболы нет периода обращения.
Не g = GM/R² как ответ, хотя v = √(2 g R) на поверхности, если g именно GM/R², не табличные 9,81 с чужим R.
Не сила F — здесь энергия, не ньютоны в целевом поле.
Как пользоваться
Задайте M и r. Для старта с поверхности r = R планеты. С орбиты высоты h берите r = R + h: убегать легче, чем с земли, потому что часть ямы уже пройдена.
Родитель физика. Сравнить круг: первая космическая.
Примеры
1. Прямая. G = 1, M = 8, r = 2 → √8.
2. Масса. v = √8, G = 1, r = 2 → M = 8.
3. Расстояние. v = √8, G = 1, M = 8 → r = 2.
4. Запрет. r = 0.
5. Отношение. √8 / 2 = √2. Круговая на тех же данных была 2.
Ещё задачи
Земля: √(2·6,67·10⁻¹¹·6·10²⁴ / 6,4·10⁶) ≈ 11,2 км/с. Не 7,9.
Луна: меньше масса и меньше R — вторая космическая ≈ 2,4 км/с. С Луны улететь легче.
Якорь √8 при восьмёрке и двойке. Если вышло 2, забыли двойку под корнем.
С орбиты r = 2R убегание √(GM/R) = первая космическая на поверхности. Не путайте, с какого r стартуете.
Связь с mgh: для Δh ≪ R поле почти однородно, mgh не заменяет GM/r на бесконечность.
Третья космическая (уход из Солнечной системы) — другая масса и r, не эта страница одним нажатием «ещё √».
Не релятивистский горизонт: формально v = c даёт радиус Шварцшильда в той же записи, но страница ньютонова и свет не моделирует.
После убегания круг — сосед. Кеплер для эллипса с a → ∞ вырождается, период бесконечен: согласовано с «нет оборота».
Масса ракеты не входит. Сопротивление атмосферы не входит: ключ 11,2 — без воздуха.
Единицы км/с: разделите м/с на 1000 после расчёта, не до.
Школа: кинетическая против потенциальной
Потенциал Ньютона Φ = −GM/r, энергия mΦ. На бесконечности 0. Чтобы mv²/2 + mΦ ≥ 0, нужно v² ≥ 2GM/r.
Памятка: двойка из энергии, не из «два радиуса». Круг — половина этой кинетической на том же r.
Контроль: G = M = r = 1 → v = √2.
Итог: три поля плюс G, парабола, не круг.
Чертёж: стрелка от поверхности наружу, длиннее касательной круговой орбиты.
Хаб тяготения держит обе космические рядом.
Земля, Луна, чёрная дыра без релятивизма
Старт с Земли: 11,2 км/с идеально. Реальная ракета уходит медленнее за счёт работы двигателей по пути — это не «формула врёт», это другая постановка.
Астероид: малые M и R, убегание метров в секунду. Грунт улетает от лопаты — учебный образ.
Не падение h = gt²/2: там старт из покоя вниз, здесь старт вверх на бесконечность.
Якорь √8 ≈ 2,83 при M = 8, r = 2, G = 1.
Множитель √2
Поделите ответ этой страницы на ответ круговой с теми же M, r. Должно выйти ≈ 1,414. Если 2 — взяли 2GM без корня или умножили скорость на 2.
На поверхности v = √(2gR) только если g = GM/R² с тех же M, R. Смешение табличного g и чужого R ломает равенство.
Проверка размерности та же, что у круговой: м/с.
Не ищите период параболы.
Круг: √(GM/r).
Старт с орбиты МКС легче старта с поверхности: r больше, яма мельче. Не берите 11,2 км/с как «добавку сверх 7,7» — это скорости относительно разных точек отсчёта и разных r.
Парабола относительно планеты. Относительно Солнца та же ракета может остаться на эллипсе вокруг звезды: третья космическая — другой M и r.
Атмосфера Земли «съедает» скорость у поверхности. Ключ 11,2 — вакуумная модель. Школьная задача обычно просит именно её.
Проверка: v² r / (2G) должно вернуть M. Если забыли двойку, масса выйдет вдвое больше.
Горизонтальный бросок с горы не равен убеганию: камень падает. Убегание — запас энергии до нуля на бесконечности, не дальность по параболе в однородном g.
Глубина ямы в джоулях на килограмм — Φ = −GM/r. Тогда v = √(−2Φ) на том же r.
Типичные ошибки
- Забыть двойку под корнем.
- Умножить первую космическую на 2.
- Подставить высоту вместо r от центра.
- Смешать с mgh.
- Нулевой r.
Соседи: круговая скорость, закон Ньютона, g по массе и радиусу, потенциальная mgh, период окружности.
Частые вопросы
- Как найти вторую космическую скорость?
- v = √(2 G M / r). При G = 1, M = 8, r = 2 получается √8 ≈ 2,828. У поверхности Земли около 11,2 км/с.
- Почему √2 к первой космической?
- Круговая √(GM/r). Убегание √(2GM/r) = √2 · vкруговая на том же r.
- Это потенциальная энергия mgh?
- mgh — однородное поле у поверхности, малая высота. Здесь поле 1/r, энергия нулевая на бесконечности.
- Можно найти M или r?
- M = v² r / (2G), r = 2 G M / v². Нулевой r запрещён.
- Нужна ли масса корабля?
- Нет, если корабль много легче планеты. Она сокращается в балансе энергий.
- Где хаб?
- Тяготение Ньютона и физика.
Источники
- Сивухин Д. В. Общий курс физики. Механика.
- Иродов И. Е. Основные законы механики.
- CODATA 2018. Newtonian constant of gravitation G.