Потенциал, не энергия
Гравитационный потенциал Ньютона — энергия поля на килограмм пробной массы: Φ = −G M / r. Нуль ставят на бесконечности, поэтому вблизи притягивающей массы Φ отрицателен. Единица Дж/кг, то же что м²/с², не джоуль.
Контроль: G = 1, M = 8, r = 2 → Φ = −4. Раздел: тяготение Ньютона.
Энергия конкретного тела массы m есть E = m Φ. Страница m не спрашивает: она считает поле, не запас в джоулях.
Φ = −G M / r
Φ = −G M / r
Поля Φ, G, M, r. Минус в формуле обязателен. Обратный ход находит массу центра или расстояние. G — константа. r = 0 и Φ = 0 запрещены.
Φ не обязан быть положительным: типичный ответ отрицательный. Положительный ввод Φ при поиске M или r даёт отрицательную массу или расстояние — страница откажет.
Не mgh и не сила
Не Eₚ = mgh: там джоули, однородное g, высота от выбранного пола. Здесь 1/r, ноль далеко, знак минус.
Не F = GMm/r²: сила на два тела. Не g = GM/R²: ускорение, хотя на поверхности Φ = −g R при том же M и R.
Не mv²/2 и не электрический потенциал в вольтах. Буква Φ в электростатике — другая страница, здесь тяготение.
Как пользоваться
Задайте массу центра и расстояние от центра. Прочитайте Φ в Дж/кг. Для поверхности планеты r = R. Для орбиты r = R + h, высоту страница сама не прибавляет.
Родитель физика. Энергия у поверхности Земли в однородном приближении — mgh.
Примеры
1. Прямая. G = 1, M = 8, r = 2 → Φ = −4.
2. Масса. Φ = −4, G = 1, r = 2 → M = 8.
3. Расстояние. Φ = −4, G = 1, M = 8 → r = 2.
4. Запрет r. r = 0.
5. Запрет Φ. Φ = 0 при поиске r: деление на ноль (бесконечность).
Ещё задачи
Поверхность Земли грубо: M = 6·10²⁴ кг, R = 6,4·10⁶ м → Φ ≈ −6,3·10⁷ Дж/кг, то есть около −63 МДж/кг. Не −9,8 Дж: смешали с g.
Убегание: v = √(−2Φ). При Φ = −4 учебное v = √8, как на странице второй космической с теми же M, r.
Якорь −4 при восьмёрке и двойке с G = 1. Если вышло +4, потеряли минус. Если −2, забыли, что нет квадрата r: потенциал 1/r, сила 1/r².
На круговой орбите полная удельная энергия v²/2 + Φ = −GM/(2r). Страница выдаёт только Φ, не сумму с кинетической.
Разность потенциалов между r₁ и r₂: ΔΦ = −GM(1/r₂ − 1/r₁). Работа на килограмм. Страница считает Φ в одной точке, не разность двух полей.
Связь с g: g = GM/R², Φ = −GM/R = −g R на поверхности. Проверьте: 9,8 · 6,4·10⁶ ≈ 6,3·10⁷, модуль совпадает.
Не подставляйте массу человека в M: M — планета или звезда. Человек — пробное m в E = m Φ, его здесь нет.
Однородное mgh работает, пока Δh ≪ R. Иначе яма 1/r, и mgh завышает или занижает запас до бесконечности.
После потенциала сила: градиент Φ даёт ускорение. Модуль на сфере |∇Φ| = GM/r² = g(r). Страница градиент не берёт, только Φ.
Единицы МДж/кг удобны для планет. 63 МДж/кг = 6,3·10⁷ Дж/кг. Не пишите «63 джоуля».
Школа: ноль на бесконечности
Потенциал определён с точностью до константы. Ньютонова астрономия фиксирует Φ(∞) = 0. Тогда связанное состояние — отрицательный Φ, отлёт — неотрицательная полная удельная энергия.
Памятка: минус, 1/r, Дж/кг, не мгновенные ньютоны и не mgh.
Контроль: G = M = r = 1 → Φ = −1.
Итог: три поля плюс G, Φ обычно меньше нуля, нули r и Φ нельзя.
Чертёж: большой шар, точка на расстоянии r, подпись Φ < 0, стрелка «∞ → 0».
Хаб тяготения держит Φ рядом с убеганием, чтобы не искать mgh.
Земля, орбита, убегание
Старт с поверхности: глубина ямы |Φ|. Ракета должна дать ½v² ≥ |Φ|. Это пересказ √(2GM/r), не новая физика.
Низкая орбита: Φ мельче, чем на почве, потому что r больше. Часть ямы уже «пройдена» высотой.
Не F = mg: вес в ньютонах. Потенциал не сила.
Якорь −4 при M = 8, r = 2, G = 1.
Связь с g и v
Проверка: −G M / r должно совпасть с ответом. Модуль |Φ| · 2 под корнем — скорость убегания на том же r.
На поверхности |Φ| = g R. Не |Φ| = g: размерность развалится (м²/с² против м/с²).
Обратный ход M = −Φ r / G: подставьте отрицательный Φ. Плюс четыре вместо минус четырёх даст M < 0.
Не ищите потенциал двух сравнимых масс как сумму без общего нуля в домашней задаче: страница — поле одного центра.
Круг: √(GM/r). Удельная кинетическая на круге |Φ|/2.
Сверьте учебную тройку (G, M, r) = (1, 8, 2): Φ = −4, v₁ = 2, v₂ = √8, g при R = 2 было бы 2, и −g R = −4 — тот же якорь.
Если в условии «потенциал +64 МДж/кг», автор взял модуль. На этой странице вводите −64 МДж/кг либо считайте модуль в тетради и не ждите плюса из формулы −GM/r.
Размерность: м³/(кг·с²) · кг / м = м²/с² = Дж/кг. Если вышли ньютоны, это сила, не потенциал.
Типичные ошибки
- Спутать с mgh (джоули, однородное поле).
- Потерять минус и получить Φ > 0 у массы.
- Поставить квадрат r, как в силе.
- Подставить g вместо G.
- Нулевое расстояние или нулевой потенциал в знаменателе.
Соседи: скорость убегания, потенциальная энергия mgh, закон Ньютона, g по массе и радиусу, круговая скорость.
Частые вопросы
- Какая формула гравитационного потенциала?
- Φ = −G M / r. Единица — джоуль на килограмм. Ноль выбран на бесконечности, поэтому у масс Φ отрицателен.
- Это потенциальная энергия mgh?
- Eₚ = mgh — энергия в джоулях в однородном поле у поверхности. Здесь потенциал поля, Дж/кг. Энергия пробной массы E = m Φ.
- Связь со второй космической?
- v = √(2GM/r) есть √(−2Φ). Кинетическая ½v² как раз гасит яму Φ.
- Можно найти M или r?
- M = −Φ r / G, r = −G M / Φ. Нулевые r и Φ запрещены: деление. Φ в обратном ходе должен быть отрицательным, иначе масса или расстояние выйдут нефизичными.
- Чем отличается от силы Ньютона?
- F = GMm/r² — ньютоны на пару тел. Потенциал — скаляр поля, без второй массы.
- Где хаб?
- Тяготение Ньютона и физика.
Источники
- Сивухин Д. В. Общий курс физики. Механика.
- Иродов И. Е. Основные законы механики.
- CODATA 2018. Newtonian constant of gravitation G.