Два тела и постоянная G
Закон всемирного тяготения задаёт силу притяжения двух тел: F = G M m / r². Массы M и m в килограммах, r — расстояние между центрами масс (для однородных шаров — между геометрическими центрами), G — гравитационная постоянная.
Контроль с учебной G = 1: M = 8, m = 3, r = 2 → F = 6. Реальное G ≈ 6,67·10⁻¹¹ делает силу крошечной, пока массы не планетарные. Раздел: тяготение Ньютона.
Сила взаимна: первое тело тянет второе с той же F. Страница выдаёт модуль силы, не вектор и не поле.
F = G M m / r²
F = G M m / r²
Поля F, G, M, m, r. G по умолчанию 6,6743·10⁻¹¹ и считается константой: его можно сменить, но искать как неизвестное страница не предлагает. Обратный ход — массы и расстояние.
r = 0 запрещён. Отрицательные массы не принимаются.
Не mg и не F = ma
Не F = mg: там одно тело у Земли, g готовое. Не второй закон F = ma: там любая равнодействующая. Не mv²/r: кинематика круга, без G.
Не Eₚ = mgh: энергия, джоули, однородное поле. Не кулоновская сила зарядов, хотя запись похожа.
Как пользоваться
Пустым оставьте F, M, m или r. G оставьте табличным или поставьте 1 в учебной модели. Единицы: кг, м, Н. Километры в r переводите в метры.
Родитель физика. Сосед по полю: g по массе и радиусу.
Примеры
1. Прямая. G = 1, M = 8, m = 3, r = 2 → F = 6.
2. Масса M. F = 6, G = 1, m = 3, r = 2 → M = 8.
3. Масса m. симметрично → 3.
4. Расстояние. F = 6, G = 1, M = 8, m = 3 → r = 2.
5. Запрет. r = 0.
Ещё задачи
Два шара по 100 кг на 0,5 м: F = 6,67·10⁻¹¹ · 10⁴ / 0,25 ≈ 2,7·10⁻⁶ Н. Руками не ощутить — поэтому школьные «гири притягиваются» только в задачнике.
Земля и человек: M ≈ 6·10²⁴ кг, m = 70 кг, r ≈ 6,4·10⁶ м даёт F порядка 700 Н, как mg при g ≈ 10. Это мост к силе тяжести, не замена той страницы.
Якорь: при G = 1 тройка 8, 3, 2 даёт 6. Если вышло 12, забыли квадрат r.
Удвоили r — сила вчетверо меньше. Это не линейный закон Гука.
Связь с круговой скоростью: F = GMm/r² = m v²/r, откуда v = √(GM/r). Сначала сила, потом орбита.
Не подставляйте диаметр вместо r. Для шаров r — сумма радиусов, если спрашивают «поверхности касаются», плюс зазор, если не касаются.
Луна и Земля: расстояние центров ≈ 3,84·10⁸ м, не «высота орбиты над почвой».
После силы поле на поверхности — g = GM/R². Убегание — √(2GM/r).
Две равные массы: формула не меняется. Не делите F пополам «на каждое тело» в ответе модуля: каждое испытывает ту же F.
Третье тело в системе — уже не эта страница. Только пара.
Школа: почему r² и центры
Образ: поток силовых линий через сферу радиуса r. Площадь сферы 4πr², поэтому сила падает как 1/r². Это не доказательство из геометрии урока, но память: квадрат — про сферу.
Однородный шар снаружи неотличим от точки в центре. Поэтому r меряют между центрами, не «от края до края».
Памятка: G маленькая, r в знаменателе в квадрате, массы в числителе.
Контроль r = 1, M = m = 1, G = 1 → F = 1. Удобный якорь модели.
Итог: четыре рабочих неизвестных плюс G-константа, нулевой r нельзя.
Чертёж: два круга, пунктир между центрами, подпись r, стрелки F навстречу.
Хаб тяготения отделяет эту силу от веса mg нарочно.
Шары, планеты, пылинки
Кавендиш измерил G крутильными весами: лабораторные свинцовые шары, крошечная сила. Школьный калькулятор ту же формулу применяет к планетам.
Двойные звёзды: если массы сравнимы, движение вокруг общего центра. Модуль силы всё равно GMm/r²; орбитальный период тогда с приведённой массой — не эта страница.
Пылинки в космосе: сила есть, но ничтожна против света и заряда. Не ждите, что формула «соберёт туманность» за минуту расчёта.
Не проценты: «сила выросла на 20 %» — сравнение двух F, не подстановка процента в GMm/r².
Якорь 6 при восьмёрке, тройке и двойке с G = 1.
Родитель физика. Второй закон для проверки: F = ma даст ускорение каждого, если F уже найдена.
Кавендиш и единицы G
Единица G — м³/(кг·с²), чтобы F вышла в ньютонах. Не «безразмерная 6,67». Не путать с g в м/с².
В тетради часто G = 6,67·10⁻¹¹. Страница по умолчанию 6,6743·10⁻¹¹ (CODATA). Для школьного ключа разница обычно меньше погрешности условия.
Проверка размерности: кг·кг / м² · м³/(кг·с²) = кг·м/с² = Н.
Не ищите G из одной пары F, M, m, r на этой странице как целевое поле — константа. Если учитель просит выразить G, сделайте это в тетради: G = F r² / (M m).
Сосед по поверхности планеты: g = GM/R².
Две гири по 10 кг на 10 см: F ≈ 6,67·10⁻⁹ Н. Весы этого не покажут. Планеты «работают», потому что массы 10²⁴ кг, не потому что формула другая.
Если в задаче «расстояние между поверхностями 2 м, радиусы 0,3 и 0,2 м», r = 2,5 м. Подставить 2 — типичный школьный промах.
Сила всегда вдоль линии центров. Страница модуля не спрашивает угол: проекции на ось — в тетради, затем при необходимости равнодействующая по осям.
Не складывайте GMm/r² с mg «на всякий случай»: у поверхности Земли mg уже есть эта сила, только записанная через g.
Типичные ошибки
- Подставить g вместо G.
- Взять расстояние между поверхностями, забыв радиусы.
- Забыть квадрат r.
- Смешать с F = mg.
- Нулевое r.
Соседи: g по массе и радиусу, сила тяжести mg, круговая скорость, вторая космическая, F = ma.
Частые вопросы
- Какая формула закона всемирного тяготения?
- F = G M m / r². G по умолчанию 6,6743·10⁻¹¹ м³/(кг·с²). Расстояние r — между центрами, не между поверхностями.
- Это сила тяжести F = mg?
- F = mg действует у поверхности, где g уже известно. Здесь g не входит: сила из двух масс и расстояния.
- Можно найти массу или r?
- M = F r² / (G m), r = √(G M m / F). Нулевое расстояние запрещено: деление на r².
- G и g — одно?
- Нет. G — постоянная тяготения. g — ускорение, его считает страница g = GM/R².
- Связь с орбитой?
- Круговая скорость получается, когда эта сила даёт центростремительное ускорение v²/r.
- Где хаб?
- Тяготение Ньютона и физика.
Источники
- Сивухин Д. В. Общий курс физики. Механика.
- Иродов И. Е. Основные законы механики.
- CODATA 2018. Newtonian constant of gravitation G.