Коэффициент Пуассона стержня
Когда стержень или образец растягивают вдоль оси, поперечные размеры обычно уменьшаются: круглый стержень становится тоньше, пластина — уже. Коэффициент Пуассона ν = εпопер / εпрод количественно связывает модуль поперечной деформации с модулем продольной. Это безразмерная характеристика материала, не зависящая от размеров образца в упругой зоне.
Контрольный расчёт: εпрод = 0,001, εпопер = 0,0003 → ν = 0,0003 / 0,001 = 0,3. Поля — положительные величины; страница знак минус не подставляет. Это не одна деформация ε = ΔL/L и не модуль Юнга E. Раздел: прочность и деформации.
ν нужен при объёмной деформации, контактных задачах, тензометрии и проверке данных опытов. Сталь часто около 0,3, пробка почти 0, резина — сильно больше в учебных таблицах.
ν = εпопер / εпрод
ν = εпопер / εпрод
Три поля: ν, εпопер, εпрод. Безразмерные деформации — доли, не проценты, если не перевели: 0,1 % → 0,001. Обратный ход: поперечную или продольную деформацию. εпрод = 0 запрещён.
εпрод — модуль продольного удлинения при растяжении образца вдоль оси. εпопер — модуль поперечного изменения (сужения диаметра или ширины). Оба вводите как положительные числа по договорённости этой страницы.
Связь с σ = F/A: при известных σ и E находят εпрод = σ/E на других страницах, затем ν из измеренного εпопер. Здесь только отношение двух деформаций.
Не одна ε и не модуль E
Не ε = ΔL/L одной оси: там одна продольная деформация, не отношение поперечной к продольной. Не E = σ/ε: E в паскалях, ν безразмерен.
Не ΔL = FL/(AE): удлинение по силе и модулю — другой калькулятор. Не σ = F/A напрямую: σ не входит в ν = εпопер / εпрод.
Не τ = F/A и не τ = T r / J: сдвиг и кручение — другие деформации. Не σ = M y / I: изгиб даёт сложное поле ε, не эту простую осевую постановку.
Не пружина F = kΔx, не F = m a, не I = b h³ / 12: геометрия сечения влияет на σ, но ν — свойство материала из двух ε.
Не коэффициент запаса: ν не сравнивают с допуском прочности.
Как пользоваться
Оставьте пустым одно поле. εпрод и εпопер — малые доли: 0,001 = 0,1 %. Проценты переводите: 0,03 % → 0,0003.
Не вводите отрицательное εпопер «потому что сужение»: страница ждёт модуль. Не ставьте минус перед εпрод при растяжении — тоже модуль.
ν для большинства металлов между 0,25 и 0,35. Значение сильно больше 0,5 или отрицательное ν — проверьте ввод или материал. Хаб: инженерия.
Примеры
1. Прямая. εпопер = 0,0003, εпрод = 0,001 → ν = 0,0003 / 0,001 = 0,3.
2. Поперечная. ν = 0,3, εпрод = 0,001 → εпопер = ν · εпрод = 0,0003.
3. Продольная. εпопер = 0,0003, ν = 0,3 → εпрод = εпопер / ν = 0,001.
4. Пробка. εпопер ≈ 0 при εпрод = 0,002 → ν ≈ 0.
5. Запрет. εпрод = 0 при поиске ν — деление невозможно.
Ещё задачи
Стальной образец: εпрод = 0,0015, измерили εпопер = 0,00045 → ν = 0,3. Согласуется с табличным для стали.
Если εпрод = 0,002, а εпопер = 0,0006 — снова ν = 0,3. ν материала не зависит от величины ε в упругой зоне.
Из σ = F/A и E: εпрод = σ/E. Диаметр уменьшился на 0,03 % → εпопер = 0,0003. ν = εпопер / εпрод.
Удлинение ΔL: зная ΔL и L, εпрод = ΔL/L на странице осевой деформации, затем ν здесь.
Два образца одной стали: разные εпрод, отношение εпопер/εпрод одинаково → один ν.
Не путайте ν с запасом n: n сравнивает напряжения, ν — деформации.
Контрольный якорь: 0,0003 и 0,001 → 0,3. Удвоили обе ε — ν не изменился.
Анизотропные композиты: ν по разным направлениям различается — в задаче уточняйте, какие ε измерены.
Кручение и I = m r² не дают ν напрямую — нужны осевые ε.
Температура слабо меняет ν металлов; для точных опытов указывают условия измерения.
Школа: сужение и растяжение
Образ: резиновый стержень: тянете вдоль — он удлиняется и становится тоньше. Продольное «растянулось на εпрод», поперечное «сузилось на εпопер» — ν связывает два модуля.
Аналогия с мокрым песком: сжали в одном направлении — в другом выступило; ν описывает «перетекание» объёма в упругости.
Памятка: обе ε — положительные модули; не E; не одна ΔL/L; εпрод не ноль.
Сталь ν ≈ 0,3: поперечная деформация примерно 30 % от продольной по модулю. Пробка ν ≈ 0: почти не сужается.
Контроль: ввели εпопер со знаком минус — ответ ν «ломается». Страница минус не исправляет.
Итог: ν = εпопер / εпрод, три неизвестных. Соседи — осевая ε, E, σ, удлинение.
Чертёж: стержень до и после: L и D, стрелки ΔL и ΔD, подписи модулей деформаций.
Объёмная деформация в продвинутом курсе: ε_V ≈ εпрод − 2ν εпрод при малых ε — использует найденный ν.
Хаб прочность объединяет деформации и модули.
Сталь, пробка и образец
Стальной пруток на разрывной машине: εпрод из экстензометра, εпопер по изменению диаметра микрометром → ν ≈ 0,3.
Пробковая подложка: εпопер мала при заметном εпрод → ν близок к нулю. Материал почти сохраняет поперечный размер.
Алюминий: ν около 0,33 в справочниках — проверка опытом через отношение ε.
Пластина шириной b, толщиной t: при растяжении вдоль длины εпрод, по ширине εпопер — та же формула ν.
Якорь: 0,0003 / 0,001 = 0,3. Быстрая проверка калькулятора.
Связь с напряжением: при F и A находят σ, при E — εпрод, поперечное измерение даёт ν.
Изгиб создаёт неоднородные ε; ν по осевой простой тяге — базовая постановка этой страницы.
Родитель: инженерия. Срез не заменяет измерение поперечной ε при тяге.
Требование ν в диапазоне 0…0,5 для изотропных материалов в упругости — физический контроль результата.
Цифровая корреляция изображений даёт обе ε одновременно — ν считают как отношение.
Тензодатчики и модули
Два тензодатчика: один вдоль образца (εпрод), второй поперёк (εпопер). ν = |εпопер| / |εпрод| с положительными полями на странице.
Экстензометр на L даёт εпрод; штангенциркуль на диаметр до и после — εпопер = |ΔD|/D.
Запись: «ν = 0,30 при εпрод = 1,0·10⁻³, εпопер = 3,0·10⁻⁴». Не смешивать проценты и доли.
Не путайте показания с модулем E: E из σ/εпрод, ν — из двух ε.
За пределом упругости ν может «плыть» — для ν используют малые ε в линейной зоне.
Типичные ошибки
- Ввести одну ε = ΔL/L вместо отношения поперечной к продольной.
- Поставить минус в поле εпопер при сужении.
- Перепутать ν с модулем E или с одной деформацией.
- Делить на εпрод = 0.
- Подставить проценты без перевода в доли (0,1 % ≠ 0,1).
Соседи: осевая деформация, модуль Юнга, осевое напряжение, удлинение стержня, сила, коэффициент запаса.
Частые вопросы
- Как найти коэффициент Пуассона ν?
- ν = εпопер / εпрод. Вводите положительные модули деформаций: εпрод = 0,001, εпопер = 0,0003 → ν = 0,3. Страница минус в поля не ставит.
- Почему поля положительные?
- При растяжении вдоль оси поперечное сечение сужается — в задаче дают модуль поперечной деформации как положительное число. Знак «минус» в ν = −ε_поп/ε_прод уже учтён договорённостью полей.
- Чем отличается от ε = ΔL/L?
- Одна осевая ε = ΔL/L — деформация вдоль одной оси. Здесь отношение поперечной к продольной — свойство материала ν.
- Это модуль Юнга?
- Нет. E = σ/ε связывает напряжение и продольную деформацию. ν — безразмерное отношение двух деформаций, типично 0,3 для стали, около 0 для пробки.
- Связь с удлинением стержня?
- ΔL = FL/(AE), σ = F/A и εпрод — соседи. ν дополняет картину поперечным сужением.
- Где хаб?
- Прочность и деформации и инженерия.
Источники
- Учебное сопротивление материалов: σ = F/A, ε = ΔL/L, E = σ/ε, ΔL = FL/AE, τ = Tr/J, σ = My/I.
- СИ: напряжение в паскалях (Н/м²). Допустимое напряжение задаёт пользователь, не марка стали.