Отрезок через середины боковых сторон
У трапеции две стороны параллельны — основания a и b. Боковые стороны параллельными не обязаны быть. Середины боковых соединяет средняя линия: она всегда параллельна основаниям и лежит ровно посередине между ними по высоте. Длина этой линии — среднее арифметическое оснований. Калькулятор не спрашивает высоту и боковые. Раздел: четырёхугольники.
m = (a + b) / 2
m = (a + b) / 2
Для оснований 6 и 10 средняя линия 8. Обратный ход: a = 2m − b. Если m = 8 и b = 10, то a = 6. Полуразность оснований (b − a)/2 к длине средней не относится: она про выступы по бокам, не про саму линию.
Единицы — длины. Не умножайте m на высоту на этой странице: получите площадь, но поле высоты здесь нет специально, чтобы не дублировать площадь трапеции.
Площадь есть средняя линия на высоту
S = (a + b)/2 · h переписывается как S = m h. Геометрически средняя линия — основание прямоугольника той же площади, что трапеция. Зная m = 8 и h = 4, площадь 32 — как в примере площади трапеции с основаниями 6 и 10. Сначала длина средней, потом при необходимости площадь на соседней странице.
Параллелограмм — трапеция с двумя парами параллельных сторон; средняя линия равна основанию. Площадь тогда a h: S = a h.
Не медиана треугольника
Медиана треугольника делит сторону пополам и имеет формулу с тремя сторонами, не полусумму двух оснований. Путать имена «средняя» легко. Медиана: m_a = ½ √(2b² + 2c² − a²). Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, равна половине третьей — это уже другое утверждение и не эта страница.
Трапецию иногда достраивают до треугольника. Тогда средняя линия трапеции не обязана быть средней линией того треугольника в школьном смысле «половина стороны» без учёта отрезанного куска.
Когда основания равны
a = b = 5 → m = 5. Фигура — параллелограмм (в частном случае прямоугольник или квадрат). Средняя линия совпадает по длине с основаниями. Формула не ломается. Прямоугольник площадью a·b считает A = a b; средняя линия к площади прямоугольника не добавляет нового.
Ромб тоже параллелограмм: средняя линия равна стороне. Периметр ромба от средней линии не считают: P = 4a.
Как пользоваться
Выберите среднюю линию или одно основание. Введите два известных. Высоту не вводите — поля нет. Боковые стороны на длину m не влияют, пока основания те же: высокую «крутую» трапецию и низкую с теми же a и b средняя линия роднит.
Площадь треугольника, если отрезали угол трапеции: основание и высота.
Основания 6 и 10
m = 8. Если высота 4, площадь 32 — проверка через полусумму. Обратный ход: известны средняя 8 и нижнее основание 10, верхнее 6. Нельзя получить верхнее 12 при средней 8 и нижнем 10: 2·8 − 10 = 6, не 12. Двенадцать вышло бы, если взять сумму вместо полусуммы.
Равнобедренная трапеция и «кривая» с разными боковыми при тех же основаниях имеют одну и ту же среднюю линию. Боковые влияют на углы и на длину бокового ребра, не на m. Поэтому поле боковой стороны здесь намеренно отсутствует: иначе страница начала бы дублировать площадь или теорему Пифагора на высоте.
Почему линия параллельна основаниям: середины боковых — точки, которые теорема о пропорциональных отрезках (Фалес) ставит на одинаковой относительной высоте. Соединили — получили прямую, параллельную обоим основаниям. Длина — среднее арифметическое, не среднее геометрическое и не полуразность. Полуразность (b − a)/2 описывает, насколько нижнее основание длиннее верхнего с каждой стороны у равнобедренной трапеции; это выступ, а не средняя линия.
На стройке средняя линия — длина перемычки на половине высоты трапециевидного проёма или длина полки, если полки ставят посередине между параллельными кромками. Высоту проёма эта страница не считает. Если известны только боковые и угол, сначала найдите основания другим путём, затем вернитесь сюда за m.
Типичные ошибки
- Взять полуразность оснований вместо полусуммы.
- Умножить среднюю линию на боковую сторону и назвать это площадью.
- Спутать с медианой треугольника.
- Подставить боковые стороны в поля оснований.
- Ждать, что средняя линия равна высоте.
Частые вопросы
- Что такое средняя линия трапеции?
- Отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Он параллелен основаниям и равен их полусумме: m = (a + b) / 2.
- Нужна ли высота?
- Для длины средней линии нет. Высота нужна площади: S = m · h на странице площади трапеции.
- Как найти основание по средней линии?
- a = 2m − b. Второе основание должно быть меньше удвоенной средней, иначе длина выйдет неположительной.
- Чем это не площадь трапеции?
- Площадь S = (a + b)/2 · h = m h. Калькулятор площади трапеции просит ещё высоту. Здесь только длина m.
- Это медиана треугольника?
- Нет. Медиана идёт из вершины в середину стороны. Длину медианы считает медиана треугольника.
- Что если основания равны?
- Средняя линия равна каждому из них: это параллелограмм или прямоугольник. Формула всё равно верна: m = a.