Отрезок из вершины в середину стороны
Медиана — не высота и не биссектриса угла. Это отрезок, который начинается в вершине и заканчивается ровно посередине противоположной стороны. Середина означает равные длины: если сторона a, медиана к ней делит a на два отрезка по a/2, какой бы угол при этой стороне ни был. Три медианы всегда пересекаются в одной точке внутри треугольника.
Калькулятор считает длину медианы к стороне a по трём сторонам a, b, c. Угол в поля не входит. Раздел: треугольник.
Длина медианы по трём сторонам
m_a = ½ √(2b² + 2c² − a²)
Формула m_a = ½ √(2b² + 2c² − a²) получается из теоремы косинусов, записанной дважды для половин стороны a, либо из формулы parallelogram law: диагонали параллелограмма, собранного из двух копий треугольника. Корень обязан быть неотрицательным: 2b² + 2c² ≥ a² выполняется в настоящем треугольнике вместе с неравенством сторон.
Обратный ход: если известны медиана к a и стороны b, c, то a = √(2b² + 2c² − 4 m_a²). Коэффициент 4 появляется, потому что из m_a = ½ √(...) следует 4 m_a² = 2b² + 2c² − a². Сам корень при ручной проверке можно считать на странице квадратного корня.
Центроид делит медиану в отношении 2:1
Точка пересечения медиан — центроид, он же центр масс однородной треугольной пластины. От вершины до центроида — две трети медианы, от центроида до середины стороны — одна треть. Если медиана к гипотенузе 3–4–5 равна 2,5, то от прямого угла до центроида 5/3 ≈ 1,667, от центроида до середины гипотенузы 5/6 ≈ 0,833.
Центроид не совпадает ни с центром описанной окружности (пересечение серединных перпендикуляров, радиус R), ни с центром вписанной (пересечение биссектрис, радиус r), кроме равностороннего треугольника, где все эти точки сливаются.
Медиана не обязана совпадать с высотой
Высота перпендикулярна стороне. Медиана попадает в середину. Эти требования совпадают, только если треугольник равнобедренный с основанием как раз этой стороной — или равносторонний, где любая медиана одновременно высота и биссектриса. В разностороннем 3–4–5 медиана к катету 3 не перпендикулярна этому катету: прямой угол сидит между катетами, а не «смотрит» в середину тройки. Длину биссектрисы, которая делит угол пополам, считает биссектриса треугольника — это не медиана.
Поэтому нельзя подставлять медиану в S = ah / 2 вместо высоты. Площадь 3–4–5 равна 6 через катеты или Герона, а не через ½ · 5 · 2,5: произведение гипотенузы на медиану к ней дало бы 6,25, что уже не площадь. Случайно близко, но формула чужая.
Медиана к гипотенузе треугольника 3–4–5
В любом прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Причина: гипотенуза — диаметр описанной окружности, середина гипотенузы — центр этой окружности, и медиана из прямого угла есть радиус. Для катетов 3 и 4 гипотенуза 5, медиана 2,5. Проверка формулой: a = 5, b = 3, c = 4, m_a = ½ √(2·9 + 2·16 − 25) = ½ √(18 + 32 − 25) = ½ √25 = 2,5.
Тот же факт стыкуется с Пифагором и с R = c/2 на странице описанной окружности. Если нужна площадь при известных катетах, медиана не помогает: берите ½ · 3 · 4 или SAS с углом 90°.
Равнобедренный 5–5–6: медиана к основанию
Основание a = 6, боковые b = c = 5. Медиана к основанию падает в его середину и совпадает с высотой: m_a = 4. Формула: ½ √(2·25 + 2·25 − 36) = ½ √(100 − 36) = ½ √64 = 4. Страница равнобедренного треугольника даёт ту же высоту 4 и площадь 12. Здесь совпадение медианы и высоты — свойство равных боковых, а не общее правило.
Медиана к боковой 5 уже не высота. Для a = 5, b = 5, c = 6: m_a = ½ √(2·25 + 2·36 − 25) = ½ √(50 + 72 − 25) = ½ √97. Это другое число, около 4,92. Равносторонний со стороной 2: любая медиана равна высоте √3 ≈ 1,732.
Какую сторону считать a
Сторона a — та, к которой нужна медиана. Две другие — b и c, порядок между ними не важен: в формуле они входят симметрично. Выберите неизвестное: длину медианы m или сторону a. Введите остальные длины в одних единицах. Калькулятор не спрашивает углы и не выдаёт координаты центроида — только длину отрезка.
Периметр a + b + c, если нужен контур, считает периметр треугольника. Углы при разборе чертежа — косинусы и синусы. Площадь круга, описанного около треугольника, к длине медианы не привязана: её считает площадь круга после нахождения R.
Единицы — любые длины, лишь бы все три стороны в одном масштабе: метры с метрами, сантиметры с сантиметрами. Медиана получится в тех же единицах. Если стороны 3 см, 4 см и 5 см, медиана к 5 см равна 2,5 см, а не «половина гипотенузы в метрах».
Типичные ошибки
- Забыть множитель ½ перед корнем и получить удвоенную медиану.
- Подставить в формулу сторону не ту, к которой нужна медиана.
- Считать медиану высотой в разностороннем треугольнике и делить основание на площадь.
- Путать центроид с центром описанной или вписанной окружности.
- Для 3–4–5 ждать медиану к гипотенузе 4 или 3, а не 2,5.
Частые вопросы
- Что такое медиана треугольника?
- Отрезок, соединяющий вершину с серединой противолежащей стороны. К каждой стороне своя медиана.
- Какая формула длины?
- m_a = ½ √(2b² + 2c² − a²), где a — сторона, к которой проведена медиана, b и c — две другие.
- Почему у 3–4–5 медиана к гипотенузе равна 2,5?
- В прямоугольном треугольнике медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы. Для 5 это 2,5. Формула: ½ √(2·3² + 2·4² − 5²) = ½ √25 = 2,5.
- Медиана — это высота?
- Только в равнобедренном (к основанию) и равностороннем. В общем случае высота перпендикулярна стороне, медиана делит её пополам — это разные отрезки. Высоту к основанию считает площадь по основанию и высоте.
- Что такое центроид?
- Точка пересечения трёх медиан. Она делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины: две трети пути — к вершине, одна треть — к середине стороны.