Окружность, проходящая через три вершины
Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит ровно одна окружность. Если эти точки — вершины треугольника, окружность называют описанной: треугольник вписан в неё, а она описана около треугольника. Центр лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам. В остроугольном треугольнике центр внутри, в прямоугольном — на середине гипотенузы, в тупоугольном — вне треугольника, напротив тупого угла.
Калькулятор не строит центр по координатам. Он находит радиус R по трём сторонам. Раздел: треугольник.
R = abc / 4S
R = abc / (4S), S — площадь по Герону
Произведение трёх сторон делят на учетверённую площадь. Площадь калькулятор считает внутри по формуле Герона: полупериметр s = (a+b+c)/2, S = √[s(s−a)(s−b)(s−c)]. Корень в Героне можно разобрать отдельно на странице квадратного корня, но для R это промежуточный шаг. Если стороны не образуют треугольник, под корнем отрицательное число, R не существует. Нулевой площади тоже нет: вырожденный набор даёт деление на ноль.
Формулу можно читать наоборот: S = abc / (4R). Это редко нужно само по себе — площадь проще Героном или через основание и высоту, либо через две стороны и заключённый угол. При фиксированных сторонах S и R определяются однозначно: больше стороны — обычно больше и окружность, но «раздуть» R, не меняя a, b, c, нельзя.
Сторона как хорда: a = 2R sin A
Теорема синусов в полной записи — это и есть определение R через угол: a / sin A = 2R. Сторона a стягивает угол A как хорда. Если в задаче даны сторона и противолежащий угол, три стороны искать незачем: R = a / (2 sin A). Калькулятор этой страницы работает от длин, без градусов; углы считает соседняя теорема синусов.
Угол по трём сторонам, если он всё же нужен, даёт теорема косинусов. Медиана к стороне с описанной окружностью связана только в прямоугольном случае: медиана к гипотенузе равна R. В общем виде длину медианы считает медиана треугольника.
Прямоугольный треугольник: гипотенуза — диаметр
Теорема, обратная теореме Фалеса: угол, опирающийся на диаметр, прямой. Поэтому у прямоугольного треугольника гипотенуза — диаметр описанной окружности, R = c / 2. Для 3–4–5 гипотенуза 5, R = 2,5. Проверка общей формулой: S = 6, abc = 60, 60 / 24 = 2,5. Пифагор подтверждает стороны; описанный радиус из него следует сразу, без Герона.
Треугольник 30°–60°–90° со сторонами 1, √3, 2 прямоугольный, гипотенуза 2, значит R = 1. Проверка abc / 4S: произведение 1 · √3 · 2 = 2√3, площадь √3/2, знаменатель 4 · √3/2 = 2√3, частное 1. Синусы говорят то же: сторона 1 напротив 30°, R = 1 / (2 sin 30°) = 1 / 1 = 1.
Если угол тупой, диаметр уже не совпадает ни с одной стороной: самая длинная сторона всё ещё меньше диаметра 2R, потому что она стягивает тупой угол, а диаметр стягивал бы 180°. Центр лежит снаружи.
Равносторонний: R = a / √3
Для стороны a высота h = (√3 / 2) a, площадь S = (√3 / 4) a². Тогда R = a·a·a / (4 · √3/4 · a²) = a / √3. Часто пишут R = a / √3, либо R = a / (√3), что то же самое, либо эквивалент a√3 / 3. Для a = 2 получается R = 2/√3 ≈ 1,155. Страница равностороннего треугольника даёт площадь √3 и высоту √3; центр описанной окружности лежит на высоте на расстоянии 2/3 высоты от вершины: (2/3)·√3 = 2/√3 — снова R.
Равнобедренный 5–5–6: S = 12, R = 5·5·6 / (4·12) = 150 / 48 = 3,125. Высота к основанию 4 здесь не равна R: центр описанной окружности на этой высоте есть, но не в произвольном месте, и радиус больше высоты, потому что вершины боковых «торчат» относительно основания. Равнобедренный калькулятор высоту считает, R — нет.
Чем R отличается от радиуса вписанной
Описанная окружность проходит через вершины. Вписанная касается сторон изнутри. Радиусы разные, центры разные, формулы разные: R = abc / 4S против r = S / s. Всегда R > r для невырожденного треугольника. Равенство невозможно: окружность не может одновременно пройти через вершины и касаться сторон, если только это не предельный вырожденный случай, которого нет.
Для 3–4–5: R = 2,5, r = 1. Для равностороннего со стороной 2: R = 2/√3, r = √3/3 = 1/√3, и R = 2r. Периметр нужен вписанной через полупериметр; его считает периметр. Площадь самого круга радиуса R — площадь круга, не путать с площадью треугольника.
Как ввести стороны
Введите три положительные длины a, b, c в одних единицах. Неизвестное — радиус R. Калькулятор не спрашивает углы и не просит отметить прямой угол: прямоугольность он «увидит» сам через Герона и отношение abc / 4S, которое для 3–4–5 даст половину наибольшей стороны. Если набор нарушает неравенство треугольника, ответа не будет.
Типичные ошибки
- Спутать R с r и ждать для 3–4–5 единицу вместо 2,5.
- Поделить abc на площадь, забыв множитель 4.
- Взять полупериметр s вместо площади S в знаменателе.
- Считать, что центр всегда внутри треугольника — у тупого он снаружи, у прямого на гипотенузе.
- Подставлять в R = c/2 не гипотенузу, а катет.
Частые вопросы
- Что такое описанная окружность треугольника?
- Единственная окружность, проходящая через все три вершины. Её центр — пересечение серединных перпендикуляров к сторонам.
- Какая формула радиуса R?
- R = abc / (4S), где S — площадь. Калькулятор берёт S по формуле Герона из тех же трёх сторон.
- Почему у 3–4–5 радиус равен 2,5?
- У прямоугольного треугольника гипотенуза — диаметр описанной окружности, R = c / 2. Гипотенуза 5, R = 2,5. Через стороны: 3·4·5 / (4·6) = 60 / 24 = 2,5.
- Как связаны R и теорема синусов?
- a / sin A = 2R, то есть a = 2R sin A. Если известны сторона и противолежащий угол, R можно найти без двух других сторон: теорема синусов.
- Это тот же радиус, что у вписанной окружности?
- Нет. Вписанная касается сторон, её радиус r = S / s. Для 3–4–5 r = 1, а R = 2,5. Страница вписанной окружности считает r.
- Можно ли найти площадь круга по R?
- Да, после R откройте площадь круга: A = πR². Это площадь круга, не треугольника.