Площадь, когда высота не измерена
Часто на местности или в чертеже известны две стороны и угол между ними, а перпендикуляр к основанию провести нечем: вершина «висит» над стороной, до которой линейка не достаёт. Тогда высоту не ищут отдельно. Её роль играет произведение второй стороны на синус заключённого угла: если сторону a принять за основание, высота к ней равна b sin C, где C — угол между a и b. Площадь S = ½ · a · (b sin C) = ½ab sin C.
Это формула площади по двум сторонам и заключённому углу, набор SAS. Она не про три стороны и не про основание с уже готовой высотой. Раздел: треугольник.
Половина произведения сторон на синус заключённого угла
S = (1/2) a b sin C
Синус берётся от угла именно между выбранными сторонами. sin C максимален при 90° и равен 1; при 30° равен ½, при 150° снова ½ — тупой заключённый угол даёт ту же площадь, что и острый с тем же синусом, но треугольник выглядит иначе: вершина «завалена» наружу. Косинус при этом уже отрицательный, и третья сторона считается теоремой косинусов, а не этой страницей.
Обратные формулы: сторона a = 2S / (b sin C), сторона b = 2S / (a sin C), угол C = arcsin(2S / (ab)). Делить на ноль нельзя: нулевая сторона или sin C = 0 означает вырожденный «треугольник» с площадью ноль — три точки на одной прямой.
Прямой угол: половина произведения сторон
Катеты 3 и 4, угол между ними 90°. S = ½ · 3 · 4 · 1 = 6. Это тот же ответ, что у прямоугольного треугольника «половина произведения катетов» и что у Герона для сторон 3, 4, 5. Теорема Пифагора здесь нужна только если вы хотите ещё гипотенузу 5; площадь от гипотенузы не зависит, пока катеты и прямой угол на месте.
Если прямой угол не между данными сторонами, а напротив одной из них, формула SAS с этими двумя сторонами уже неверна: заключённый угол другой. Тогда либо возьмите ту пару сторон, которая образует прямой угол, либо перейдите к основанию и высоте, либо найдите нужный угол через синусы или косинусы.
Чем набор SAS отличается от Герона
Герон просит три длины и молчит об углах. SAS просит две длины и угол между ними и молчит о третьей стороне. Подставить в Герона две стороны и «что-то вместо третьей» нельзя. Подставить в SAS три стороны без угла — тоже: синус неизвестен. Оба пути дают одну площадь, если данные описывают один и тот же треугольник: для 3, 4 и 90° SAS даёт 6, Герон для 3, 4, 5 — тоже 6.
Периметр при SAS неизвестен, пока нет третьей стороны. Сумму a + b + c после косинусов можно добить на странице периметра. Медиана к стороне тоже требует трёх длин: медиана треугольника. Радиусы окружностей — тоже от сторон и площади: описанная и вписанная.
Равносторонний со стороной 2 и равнобедренный 5–5–6
У равностороннего все стороны 2, все углы 60°. S = ½ · 2 · 2 · sin 60° = 2 · √3/2 = √3. Формула (√3 / 4) a² при a = 2 даёт то же √3. Совпадение проверяет, что SAS не спорит со специальной страницей правильного треугольника.
Равнобедренный 5, 5, 6: угол при вершине между боковыми 5 и 5 можно сначала найти косинусами, затем площадь SAS. Проще высота к основанию: равнобедренный треугольник даёт h = 4 и S = 12. Если угол при основании известен из условия, в SAS идут основание 6, боковая 5 и этот угол — но только если угол действительно лежит между ними, то есть при конце основания.
Арксинус угла по площади даёт острый ответ
Когда неизвестное — угол C, калькулятор считает C = arcsin(2S / (ab)). Арксинус возвращает острый угол (или прямой, если аргумент равен 1). Тупой заключённый угол с тем же синусом сам не появится: sin 150° = sin 30°. Если по чертежу вершина тупая, возьмите 180° минус ответ. Площадь при этом одинакова — различить острый и тупой по одной только площади и двум сторонам нельзя.
Это ограничение стоит помнить в задачах, где треугольник заведомо тупоугольный. Для стороны или площади неоднозначности нет: sin C в формуле площади положителен в обоих случаях, и длина стороны из 2S / (b sin C) одна.
Как выбрать неизвестное
В списке цели выберите площадь S, сторону a, сторону b или угол C. Введите три известные величины. Стороны — в одних единицах длины; площадь — в согласованных квадратных единицах; угол — в градусах или радианах. На схеме угол C лежит между сторонами a и b. После расчёта проверьте, что угол именно заключённый: иначе число будет площадью другого треугольника.
Если вместо угла известна высота к стороне a, эта страница не нужна — откройте основание и высоту. Если известны три стороны — Герон. Если нужен угол по трём сторонам — косинусы. Корень из промежуточных выражений вручную — квадратный корень; площадь круга, если после SAS нашли R, — площадь круга.
Типичные ошибки
- Взять угол, который не лежит между a и b.
- Забыть ½ и получить площадь параллелограмма ab sin C.
- Скормить три стороны в поля SAS, оставив угол пустым, вместо Герона.
- Принять острый arcsin за единственно возможный угол, хотя чертёж тупой.
- Смешать единицы: стороны в сантиметрах, площадь ждать в квадратных метрах без перевода.
Частые вопросы
- Какой угол входит в формулу S = ½ab sin C?
- Только заключённый между сторонами a и b. Угол напротив одной из сторон подставлять нельзя.
- Почему при 90° получается половина произведения сторон?
- sin 90° = 1, поэтому S = ½ab. Это площадь прямоугольного треугольника с катетами a и b.
- Когда брать Герона вместо SAS?
- Когда известны три стороны и ни одного угла. Формула Герона не требует синуса.
- Можно ли найти сторону, если площадь уже есть?
- Да. Выберите сторону a или b: a = 2S / (b sin C). Угол и вторая сторона должны быть известны.
- Связано ли это с теоремой синусов?
- Синус того же угла C входит в a / sin A = 2R, но там другая неизвестная. Стороны и углы без площади считает теорема синусов.
- Где основание и высота?
- Если высота уже известна, быстрее S = ah / 2. Формула SAS как раз заменяет высоту произведением b sin C.