Окружность, касающаяся всех трёх сторон
В любой невырожденный треугольник можно вписать ровно одну окружность: она касается каждой стороны в одной точке. Центр — точка пересечения биссектрис. Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны сторонам. Отрезки касательных от вершины до точек касания равны: если обозначить x, y, z эти длины, то стороны складываются как x+y, y+z, z+x, и полупериметр s = x+y+z.
Калькулятор не просит биссектрисы и точки касания. Он находит r по трём сторонам. Раздел: треугольник.
r = S / s: площадь, делённая на полупериметр
r = S / s
Площадь треугольника равна полупериметру, умноженному на вписанный радиус: S = r s. Отсюда r = S / s. Геометрически треугольник режется на три треугольника с высотой r и основаниями a, b, c: их площади ½ar + ½br + ½cr = r s. Подстановка Герона даёт запись под корнем без явной S: r = √[(s−a)(s−b)(s−c) / s].
Полупериметр s = (a+b+c)/2 должен быть больше каждой стороны, иначе скобки (s−a) неположительны и треугольника нет. Полный периметр P = 2s считает периметр. Площадь S можно сверить Героном, основанием и высотой или двумя сторонами и углом — в знаменатель r всё равно пойдёт s, а в числитель та же S.
Прямоугольный случай r = (a + b − c) / 2
Для катетов a, b и гипотенузы c есть короткая формула без площади: r = (a + b − c) / 2. Она следует из отрезков касательных. От вершины прямого угла оба касательных отрезка равны r, поэтому на катете a до точки касания остаётся a − r, на катете b — b − r, а на гипотенузе эти остатки складываются в c. Отсюда a − r + b − r = c, то есть r = (a + b − c) / 2. Тот же ответ даёт общая запись: S = ab/2, s = (a+b+c)/2, r = S/s.
Формула не работает, если прямой угол не тот, который вы думаете: c обязана быть гипотенузой, самой длинной стороной. Подставить (3+5−4)/2 = 2 для «катетов» 3 и 5 было бы ошибкой: 3–4–5 прямоуголен с гипотенузой 5. Стороны проверяет теорема Пифагора.
Почему у тройки 3–4–5 вписанный радиус равен 1
Катеты 3 и 4, гипотенуза 5. По короткой формуле r = (3+4−5)/2 = 1. По общей: s = 6, S = 6, r = 6/6 = 1. Отрезки касательных: от прямого угла по катетам до точек касания — по 1; тогда на катете 3 остаётся 2, на катете 4 остаётся 3, и на гипотенузе 2+3 = 5 — сходится.
Описанный радиус при этом 2,5, медиана к гипотенузе тоже 2,5: медиана к гипотенузе равна R, не r. Площадь круга радиуса 1 равна π, площадь треугольника 6 — фигуры разные, числа разные.
Тот же приём на треугольнике 30°–60°–90° со сторонами 1, √3, 2: гипотенуза 2, r = (1 + √3 − 2) / 2 = (√3 − 1) / 2 ≈ 0,366. Общая формула: S = √3/2, s = (3 + √3)/2, частное снова (√3 − 1)/2. Здесь уже не целое число — и это нормально: единица у 3–4–5 удачное совпадение, а не правило.
Равносторонний и равнобедренный 5–5–6
У равностороннего со стороной a радиус вписанной r = a √3 / 6, или h/3, потому что центроид, инцентр и остальные центры совпадают, а высота делится в отношении 2:1. Для a = 2: r = 2√3 / 6 = √3 / 3 ≈ 0,577. Проверка: S = √3, s = 3, r = √3 / 3. Описанный R = 2/√3 = 2r.
Равнобедренный 5, 5, 6: s = 8, S = 12, r = 12/8 = 1,5. Высота к основанию 4 больше r, как и должно быть: вписанная окружность не дотягивает до вершины. Равнобедренный калькулятор даёт высоту и площадь; r из них: 12 / 8 = 1,5.
Не путать r с описанным радиусом R
Вписанная касается сторон. Описанная проходит через вершины. Формулы r = S/s и R = abc/4S легко перепутать, потому что обе содержат площадь. Памятка: в знаменателе вписанной — полупериметр (длина контура), в знаменателе описанной — площадь, умноженная на 4, в числителе — произведение сторон. Для любого треугольника R > r.
Углы для r не нужны. Если углы уже есть, а сторон нет, сначала восстановите стороны синусами или косинусами, затем r. Квадратный корень в записи через (s−a) можно посчитать отдельно на странице корня, но калькулятор делает это сам. Окружность снаружи одной стороны — уже вневписанная: r_a = S / (s − a), не S / s.
Как пользоваться калькулятором
Введите три стороны a, b, c в одних единицах длины. Неизвестное — радиус r. Единицы ответа те же, что у сторон: если стороны в метрах, r в метрах. Калькулятор не спрашивает, какой угол прямой: короткая формула (a+b−c)/2 внутри не нужна, общая r = S/s покрывает и прямоугольный, и косоугольный случай. На схеме окружность касается сторон, не проходит через вершины.
Типичные ошибки
- Поделить площадь на периметр, а не на полупериметр: получится r/2.
- Спутать с R и ждать 2,5 для 3–4–5 вместо 1.
- В прямоугольной формуле взять за c не гипотенузу.
- Считать r высотой: высота к стороне больше вписанного радиуса, кроме вырожденных фантазий.
- Искать площадь треугольника как πr² — это площадь круга.
Частые вопросы
- Что такое вписанная окружность треугольника?
- Окружность, касающаяся всех трёх сторон изнутри. Центр — пересечение биссектрис углов.
- Какая формула радиуса r?
- r = S / s, где S — площадь, s — полупериметр. Эквивалентная запись под корнем: r = √[((s−a)(s−b)(s−c)) / s].
- Как быстро найти r у прямоугольного треугольника?
- r = (a + b − c) / 2, где c — гипотенуза, a и b — катеты. Для 3 и 4 против 5: (3+4−5)/2 = 1.
- Чем r отличается от R?
- R — радиус окружности через вершины, R = abc / 4S. Для 3–4–5 R = 2,5, r = 1. Описанный радиус считает описанная окружность.
- Откуда берётся площадь S?
- Из тех же сторон по формуле Герона. Полупериметр s = P/2, сумму сторон даёт периметр треугольника.
- Можно ли найти площадь круга по r?
- Да: A = πr² на странице площади круга. Это площадь круга внутри треугольника, не площадь самого треугольника.