Окружность снаружи, не внутри
Вневписанная окружность не сидит внутри треугольника. Она лежит напротив одной вершины, касается одной стороны с внешней стороны и касается продолжений двух других сторон. Центр — пересечение внешней биссектрисы одного угла и внутренних биссектрис двух других. Таких окружностей три: к стороне a, к b и к c. Калькулятор считает радиус той, которая касается стороны a снаружи.
На схеме окружность стоит «снаружи» выбранной стороны, касаясь её линии и пунктирных продолжений двух боковых. Это не описанная окружность через вершины и не вписанная, касающаяся всех сторон изнутри. Раздел: треугольник.
r_a = S / (s − a)
r_a = S / (s − a), s = (a+b+c)/2
Площадь треугольника можно сложить иначе, чем для вписанной: S = r_a (s − a). Отсюда r_a = S / (s − a). Полупериметр s = (a + b + c) / 2 обязан быть больше a, иначе треугольника нет или вырождение. Подстановка Герона убирает явную площадь: r_a = √[s(s−b)(s−c) / (s−a)]. В числителе под корнем нет скобки (s−a) — она в знаменателе. Это зеркало формулы вписанного радиуса r = √[(s−a)(s−b)(s−c) / s].
S можно сверить Героном, основанием и высотой или двумя сторонами и углом — в знаменатель всё равно пойдёт s − a, в числитель та же площадь. Периметр P = 2s считает соседняя страница. Если s − a близко к нулю, сторона a почти сумма двух других, треугольник почти отрезок, r_a раздувается: окружность снаружи становится огромной.
Не путать с вписанным радиусом r = S / s
Одна буква в знаменателе меняет ответ в разы. Вписанная: делите площадь на полупериметр. Вневписанная к a: делите площадь на s минус эта сторона. Для любого невырожденного треугольника r_a > r: знаменатель меньше, радиус больше. Описанный радиус R = abc / 4S — третья величина, страница описанной окружности. У 3–4–5 тройка такая: r = 1, R = 2,5, r_a к катету 3 равна 2 — все разные.
Памятка. Вписанная касается сторон изнутри. Описанная проходит через вершины. Вневписанная касается одной стороны снаружи. Формулы r = S/s, R = abc/4S, r_a = S/(s−a) легко перепутать, потому что все три содержат площадь.
У 3–4–5 вневписанные радиусы 2, 3 и 6
Катеты 3 и 4, гипотенуза 5. Полупериметр s = 6, площадь S = 6. Вневписанная к стороне 3: r_a = 6 / (6 − 3) = 2. К стороне 4: 6 / (6 − 4) = 3. К гипотенузе 5: 6 / (6 − 5) = 6. Калькулятор при a = 3, b = 4, c = 5 выдаёт 2: он считает окружность именно к стороне a. Чтобы получить 3 или 6, поставьте в поле a ту сторону, которой окружность должна касаться снаружи.
Короткая проверка корнем: √[6·(6−4)·(6−5) / (6−3)] = √[6·2·1 / 3] = √4 = 2. Площадь 6 подтверждает Герон и катеты ½ · 3 · 4. Прямой угол проверяет Пифагор. Вписанный радиус той же тройки равен 1 — вдвое меньше вневписанного к катету 3, вшестеро меньше вневписанного к гипотенузе.
Равносторонний: вневписанный радиус втрое больше вписанного
У равностороннего со стороной a вписанный r = a √3 / 6, вневписанный r_a = a √3 / 2 = 3r. Для стороны 2: s = 3, S = √3, r = √3 / 3, r_a = √3 / (3 − 2) = √3. Три вневписанные окружности одинаковы по радиусу, потому что все стороны равны. Описанный R = 2r = 2√3 / 3, это снова другое число.
Равнобедренный 5–5–6: s = 8, S = 12. Вневписанная к основанию 6: r_a = 12 / (8 − 6) = 6. К боковой 5: 12 / (8 − 5) = 4. Вписанный у этого треугольника 1,5. Высота к основанию 4 совпала с вневписанным к боковой численно — совпадение сторон 5–5–6, не общее правило. Высоту считает равнобедренный калькулятор; r_a из высоты не выводят «на глаз».
К какой стороне окружность
Поле a — сторона касания снаружи. Две другие b и c входят симметрично: в формуле они стоят как (s−b) и (s−c). Переставить b и c нельзя испортить ответ. Переставить a с b — посчитать другую окружность. Если в задаче «вневписанная, касающаяся гипотенузы 3–4–5», ставьте a = 5, не 3.
Углы для r_a не нужны. Если даны стороны и углы, стороны всё равно главные. Если даны только углы и одна сторона, сначала восстановите остальные синусами, затем r_a. Центр вневписанной окружности лежит вне треугольника; калькулятор координаты центра не выдаёт, только радиус.
Как пользоваться калькулятором
Введите три стороны в одних единицах длины. Неизвестное — радиус r_a. Ответ в тех же единицах, что стороны: метры дают метры. Калькулятор не спрашивает, какая сторона «нижняя» на чертеже: важна та, которую вы записали как a. На схеме окружность снаружи выбранной стороны, не через вершины.
Площадь круга радиуса r_a — площадь круга. Площадь самого треугольника к π не привязана. Если нужен вписанный радиус той же тройки сторон, откройте вписанную окружность, не меняйте знаменатель руками с s на s − a «на той же странице»: это разные страницы и разные формулы.
Типичные ошибки
- Поделить S на s и назвать это вневписанным радиусом: получится вписанный r.
- Для 3–4–5 ждать 1 или 2,5 вместо 2, 3 или 6 — в зависимости от стороны.
- Поставить в a не ту сторону, которой окружность касается снаружи.
- Спутать с описанной окружностью, которая проходит через вершины.
- Искать площадь треугольника как π r_a².
Частые вопросы
- Что такое вневписанная окружность треугольника?
- Окружность, которая касается одной стороны снаружи и продолжений двух других сторон. У треугольника три такие окружности — по одной к каждой стороне.
- Какая формула радиуса r_a?
- r_a = S / (s − a), где S — площадь, s — полупериметр, a — сторона, которой окружность касается снаружи. Под корнем: r_a = √[s(s−b)(s−c) / (s−a)].
- Чем r_a отличается от вписанного r?
- Вписанная касается всех трёх сторон изнутри, r = S / s. Вневписанная к a касается этой стороны снаружи, в знаменателе s − a, не s. Для 3–4–5 вписанный радиус 1, вневписанный к стороне 3 равен 2. Вписанный считает вписанная окружность.
- Почему у 3–4–5 получаются 2, 3 и 6?
- s = 6, S = 6. Тогда r_a к стороне 3: 6 / (6−3) = 2; к 4: 6 / 2 = 3; к гипотенузе 5: 6 / 1 = 6. Произведение не случайно: r_a r_b r_c = 36, а r · r_a = (s−b)(s−c) тоже сходится.
- Нужны ли углы?
- Нет, только три стороны. Площадь берётся по формуле Герона. Полупериметр — половина периметра.
- Можно ли найти площадь круга по r_a?
- Да, A = π r_a² на странице площади круга. Это площадь вневписанного круга, не площадь треугольника и не площадь вписанного круга.