Dramtezi Calc

Треугольник — калькуляторы, формулы и свойства

Калькуляторы треугольника: теорема Пифагора, гипотенуза и катеты прямоугольного треугольника. Формулы, примеры и типичные ошибки.

Калькуляторы раздела

Теорема ПифагораКалькулятор теоремы Пифагора находит гипотенузу по двум катетам и любой катет, если известны гипотенуза и второй катет. Формула: c = √(a² + b²).Площадь треугольникаПлощадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию: S = a h / 2.Формула ГеронаФормула Герона даёт площадь по трём сторонам: сначала полупериметр s = (a+b+c)/2, затем S = √[s(s−a)(s−b)(s−c)].Периметр треугольникаПериметр треугольника — сумма длин трёх сторон: P = a + b + c. Полупериметр s = P/2 нужен для формулы Герона.Равносторонний треугольникУ равностороннего треугольника все стороны равны. Площадь S = (√3 / 4) a², высота h = (√3 / 2) a, периметр P = 3a.Равнобедренный треугольникВ равнобедренном треугольнике две боковые стороны равны. Высота к основанию h = √(b² − (a/2)²), площадь S = a h / 2.Теорема синусовТеорема синусов: сторона относится к синусу противолежащего угла так же, как другая сторона — к синусу своего угла. Калькулятор находит сторону или угол по трём известным величинам.Теорема косинусовТеорема косинусов: c² = a² + b² − 2ab cos C, где C — угол между сторонами a и b. Калькулятор находит сторону или этот угол.Площадь по двум сторонам и углуЕсли известны две стороны и угол между ними, площадь S = ½ a b sin C. Это не формула Герона и не основание с высотой.Медиана треугольникаМедиана к стороне a соединяет вершину с серединой этой стороны. Длина m_a = ½ √(2b² + 2c² − a²).Описанная окружность треугольникаОписанная окружность проходит через все три вершины. Радиус R = abc / (4S), где S — площадь треугольника.Вписанная окружность треугольникаВписанная окружность касается всех трёх сторон. Радиус r = S / s, где S — площадь, s — полупериметр.Синус, косинус и тангенс острого углаВ прямоугольном треугольнике sin A = a/c, cos A = b/c, tan A = a/b, где a — катет напротив угла A, b — катет рядом с A, c — гипотенуза.Биссектриса треугольникаБиссектриса угла A делит этот угол пополам и упирается в сторону a. Длина t_a = √(bc (1 − (a/(b+c))²)), где b и c — две другие стороны.Радиус вневписанной окружностиВневписанная окружность касается стороны a снаружи и продолжений двух других сторон. Радиус r_a = S / (s − a), где S — площадь, s — полупериметр.

Треугольник — формулы и калькуляторы

Раздел треугольника собирает стороны, углы, периметр, площади, медиану, биссектрису и окружности. Калькуляторы: теорема Пифагора, синус и косинус острого угла, теорема синусов, теорема косинусов, площадь по основанию и высоте, площадь по двум сторонам и углу, формула Герона, медиана, биссектриса, описанная окружность, вписанная окружность, вневписанная окружность, периметр, равносторонний и равнобедренный. Родитель — планиметрия.

Прямоугольный треугольник встречается в строительстве, навигации и школьных задачах на расстояние. Произвольный треугольник считают по трём сторонам (Герон), по основанию и высоте, по двум сторонам и заключённому углу, либо через синусы и косинусы. Равносторонний и равнобедренный — частные случаи со своими упрощениями.

Теорема Пифагора

c² = a² + b². Калькулятор находит любую сторону по двум другим и не считает корень из отрицательного числа: такая тройка длин не образует прямоугольный треугольник.

Проверка прямоугольности: если a² + b² совпадает с c², угол прямой. Для измерений с погрешностью сравнивают с допуском, а не требуют буквального равенства на бумаге. Острый угол по катетам — синус, косинус и тангенс: sin A = противолежащий / гипотенуза, это не поиск сторон по Пифагору.

Синусы и косинусы

Теорема синусов связывает сторону с противолежащим углом: a / sin A = 2R. Угол напротив стороны ищет арксинус — он даёт острый ответ; случай SSA может допускать второй, тупой треугольник. Теорема косинусов находит сторону по двум другим и заключённому углу или угол по трём сторонам. При 90° она совпадает с Пифагором; у тупого угла косинус отрицательный.

Площадь при двух сторонах и угле между ними — S = ½ab sin C, это не Герон. Длину медианы к стороне по трём сторонам считает медиана: она делит сторону пополам и не обязана быть высотой. Длину биссектрисы, которая делит угол пополам, считает биссектриса: это другой отрезок, другая формула.

Вписанная, описанная и вневписанная

Описанная окружность проходит через вершины, радиус R = abc / 4S. У прямоугольного треугольника гипотенуза — диаметр, R = c/2. Вписанная касается сторон изнутри, радиус r = S / s. Вневписанная касается одной стороны снаружи, радиус r_a = S / (s − a). У 3–4–5 получается R = 2,5, r = 1, вневписанные 2, 3 и 6 — разные окружности, разные формулы. Площадь круга по найденному радиусу — в разделе круга.

Как считать

Выберите гипотенузу или катет, введите две известные длины, проверьте единицы. Для косоугольного треугольника возьмите синусы, косинусы или Герона — в зависимости от того, что дано. Соседние фигуры: круг и прямоугольник.

Вернуться к разделу Планиметрия.

Частые вопросы

Что такое прямоугольный треугольник?
Треугольник с одним прямым углом. Стороны, образующие прямой угол, — катеты; напротив прямого угла — гипотенуза.
Как найти гипотенузу?
c = √(a² + b²).
Как найти катет?
a = √(c² − b²). Гипотенуза должна быть больше второго катета.
Работает ли тройка 3–4–5?
Да, это базовый целочисленный прямоугольный треугольник. 6–8–10 подобен ему.
Связь с прямоугольником?
Диагональ прямоугольника считается той же формулой. См. площадь прямоугольника.
Чем биссектриса отличается от медианы?
Биссектриса делит угол пополам, медиана идёт в середину стороны. Длины считает биссектриса и медиана.