Отрезок, который делит угол пополам
Биссектриса угла — луч, который режет угол на две равные части. В треугольнике берут не весь луч, а отрезок от вершины до противоположной стороны. Три биссектрисы всегда пересекаются в одной точке внутри треугольника — в центре вписанной окружности. Этот калькулятор не ищет точку пересечения и не выдаёт радиус: только длину одной биссектрисы, проведённой к стороне a.
Сторона a лежит напротив угла, который делится пополам. Две другие стороны b и c выходят из той же вершины. Раздел: треугольник.
Не медиана и не высота
Медиана делит сторону пополам. Высота падает под прямым углом. Биссектриса делит угол пополам. Три требования разные, три точки на стороне в разностороннем треугольнике разные, три длины разные. Подставить медиану в формулу биссектрисы или наоборот — получить чужое число, которое «похоже», но не ответ.
В 3–4–5 медиана к гипотенузе равна 2,5, высота к гипотенузе равна 2,4, биссектриса к гипотенузе — уже третье значение, около 2,424. Путать их нельзя даже «для оценки». Высоту к основанию, если нужна площадь, считает площадь по основанию и высоте; медиану — отдельная страница.
Длина по трём сторонам
t_a = √(bc (1 − (a/(b+c))²))
Школьная запись без угла: t_a² = bc [1 − (a/(b+c))²], откуда t_a = √(bc (1 − (a/(b+c))²)). Если a ≥ b + c, под корнем неположительное число: такого треугольника нет, калькулятор не считает. Другая популярная форма: t_a = (2bc /(b+c)) cos(A/2). Она удобна, когда угол A уже найден косинусами, но требует половины угла и косинуса. Обе формулы совпадают тождественно.
Обратный ход: известны t_a, b и c — восстановить сторону a. Из t_a² = bc (1 − a²/(b+c)²) следует a = (b+c) √(1 − t_a² /(bc)). Корень обязан быть вещественным: биссектриса не длиннее геометрического ограничения √(bc). Сам корень при ручной сверке можно глянуть на странице квадратного корня.
Как биссектриса режет противоположную сторону
Теорема о биссектрисе: отрезок a делится на части, пропорциональные соседним сторонам. Если биссектриса угла A делит сторону a на куски m и n, прилегающие соответственно к сторонам b и c, то m / n = b / c. Это про точки на стороне, не про длину самой биссектрисы. Калькулятор длину считает, пропорцию кусков — нет: её получают отдельно, зная b и c.
Центр вписанной окружности лежит на всех трёх биссектрисах. Радиус этой окружности r = S / s — другая задача, страница вписанной окружности. Длина биссектрисы r не равна: у 3–4–5 вписанный радиус 1, биссектриса к катету 3 около 4,22.
Биссектриса к катету 3 в треугольнике 3–4–5
Пусть a = 3, b = 4, c = 5 — биссектриса угла напротив катета 3, то есть угла между сторонами 4 и 5. Подстановка: t_a = √(4·5 · (1 − (3/9)²)) = √(20 · (1 − 1/9)) = √(20 · 8/9) = √(160/9) = (4√10)/3 ≈ 4,216. Это не 2,5 и не 4: 2,5 была бы медиана к гипотенузе, 4 — катет.
Биссектриса к гипотенузе 5: a = 5, b = 3, c = 4, t_a = √(12 · (1 − 25/49)) = √(12 · 24/49) = √(288/49) = (12√2)/7 ≈ 2,424. Стороны 3, 4, 5 проверяет Пифагор; углы, если понадобятся для формы с cos(A/2), — косинусы. Площадь 6 по Герону или катетам к длине биссектрисы не входит.
Когда биссектриса совпадает с медианой
В равностороннем все углы 60°, все стороны равны. Биссектриса, медиана и высота — один отрезок. Для стороны 2 длина √3 ≈ 1,732. Формула: a = b = c = 2, t = √(4 · (1 − ¼)) = √3. В равнобедренном совпадение только к основанию: биссектриса угла при вершине падает в середину основания и перпендикулярна ему. К боковой стороне — уже три разных отрезка.
Равнобедренный 5–5–6, биссектриса к основанию 6: a = 6, b = c = 5, t_a = √(25 · (1 − (6/10)²)) = √(25 · (1 − 0,36)) = √(25 · 0,64) = 4. Это ровно высота к основанию, как и медиана. К боковой 5 число другое: подставьте a = 5, b = 5, c = 6.
Какую сторону считать a
Сторона a — та, в которую упирается нужная биссектриса, то есть противоположная выбранному углу. b и c — две другие, порядок между ними не важен: в формуле они симметричны. Выберите неизвестное: длину t или сторону a. Три длины — в одних единицах. Калькулятор не спрашивает градусы и не рисует точку инцентра.
Периметр a + b + c, если нужен контур, — периметр. Угол, который делится пополам, можно отдельно найти синусами или косинусами; на длину t_a при известных сторонах это не влияет. Площадь по трём сторонам — формула Герона.
Типичные ошибки
- Считать биссектрису медианой и делить сторону пополам «для длины».
- Подставить в формулу не ту сторону как a.
- Забыть, что под корнем стоит 1 − (a/(b+c))², а не 1 − a/(b+c).
- Смешать длину биссектрисы с вписанным радиусом.
- Для 3–4–5 ждать 2,5 — это медиана к гипотенузе, не биссектриса к катету.
Частые вопросы
- Что такое биссектриса треугольника?
- Отрезок из вершины в противоположную сторону, который делит угол при этой вершине на два равных угла. К каждому углу — своя биссектриса.
- Какая формула длины?
- t_a = √(bc (1 − (a/(b+c))²)), где a — сторона, в которую упирается биссектриса, b и c — две другие. Эквивалентно t_a² = bc [1 − (a/(b+c))²].
- Чем биссектриса отличается от медианы?
- Медиана идёт в середину стороны, биссектриса — так, чтобы угол разделился пополам. Точки на стороне совпадают только в равнобедренном и равностороннем. Длину медианы считает медиана треугольника.
- Нужен ли угол в калькуляторе?
- Нет, достаточно трёх сторон. Формула с косинусом половины угла t_a = (2bc /(b+c)) cos(A/2) даёт то же число, если угол A уже известен, но поля угла здесь нет.
- Можно ли найти сторону a по биссектрисе?
- Да: a = (b+c) √(1 − t_a² /(bc)). Стороны b и c и длина биссектрисы к a должны складываться в настоящий треугольник.
- Почему у равностороннего со стороной 2 биссектриса равна √3?
- Там биссектриса, медиана и высота — один отрезок. Высота равностороннего со стороной 2 равна √3. Формула длины даёт то же: √(2·2·(1 − (2/4)²)) = √3.