Пифагор для косоугольного треугольника
Теорема косинусов обобщает теорему Пифагора на любой треугольник, не только прямоугольный. Квадрат стороны c равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними: c² = a² + b² − 2ab cos C. Член −2ab cos C как раз и учитывает, острый угол, прямой или тупой. При прямом он исчезает, и остаётся привычное c² = a² + b².
Без этого члена косоугольный треугольник «не сходится»: если просто сложить квадраты сторон, как у катетов, получится гипотенуза несуществующего прямоугольного треугольника, а не реальная третья сторона. Если вместо угла известна высота к стороне, площадь быстрее через основание и высоту, а не через косинус. Раздел: треугольник.
c² = a² + b² − 2ab cos C
Какой угол C и какая сторона c
В калькуляторе угол C — заключённый между сторонами a и b. Сторона c лежит напротив этого угла, то есть не является ни a, ни b, а замыкает треугольник. Переставить буквы можно, но пара обязана быть согласованной: угол всегда между двумя данными сторонами и напротив искомой (или наоборот: искомый угол напротив данной стороны c).
Если известны стороны 7 и 8 и угол 60° между ними, в поля a и b идут 7 и 8, в C — 60°, неизвестное — c. Если известны три стороны 7, 8 и 5 и нужен угол напротив стороны 5, то c = 5, a и b — остальные две, неизвестное — C. Путаница «угол при вершине, но не между выбранными сторонами» даёт чужой косинус и чужую длину.
Отрицательный косинус у тупого угла
Косинус острого угла положителен, прямого — равен нулю, тупого — отрицателен. Если C > 90°, то −2ab cos C становится положительной добавкой: c² больше a² + b². Сторона напротив тупого угла длиннее каждой из двух других — это согласуется с тем, что больший угол лежит напротив большей стороны.
Калькулятор угла использует арккосинус: C = arccos((a² + b² − c²) / (2ab)). В отличие от арксинуса, арккосинус на отрезке [−1, 1] покрывает углы от 0° до 180°, то есть и тупой случай. Неоднозначности SSA здесь нет: три стороны задают треугольник однозначно (если он вообще существует), две стороны и заключённый угол — тоже.
Проверка существования та же, что у Герона: каждая сторона меньше суммы двух других. Если числитель a² + b² − c² по модулю больше 2ab, косинус вылезает за [−1, 1] — стороны не складываются в треугольник. Перед вводом стоит глянуть периметр: сумма должна быть строго больше удвоенной самой длинной стороны.
Угол по трём сторонам
Набор SSS — три стороны, ни одного угла. Теорема косинусов даёт любой из трёх углов. Площадь при этом удобнее считать Героном, а не через найденный угол: меньше промежуточных округлений. Если площадь всё же нужна через синус найденного угла, это уже S = ½ab sin C после того, как C получен.
Для медианы, описанного и вписанного радиусов углы не обязательны: медиана, R и r считаются по сторонам. Косинусы нужны, когда в ответе именно градусы.
Третья сторона по двум и углу между ними
Набор SAS — две стороны и угол между ними. Это как раз поля a, b, C калькулятора при неизвестном c. Угол не противолежащий одной из сторон (это было бы SSA и синусы), а заключённый. После нахождения c можно при желании добрать остальные углы снова косинусами или синусами.
Площадь при SAS известна сразу, без третьей стороны: S = ½ab sin C. Если третья сторона не нужна, откройте площадь SAS. Если нужна и сторона, и площадь — сначала косинусы, затем Герон как проверка: оба пути должны сойтись.
Прямой угол: формула схлопывается в c² = a² + b²
Подставьте C = 90°. cos 90° = 0, остаётся c² = a² + b². Тройка 3, 4, 5: 9 + 16 − 2·3·4·0 = 25, c = 5. Калькулятор косинусов в этом режиме дублирует Пифагора, но умеет и обратный ход: по сторонам 3, 4, 5 угол C между 3 и 4 равен 90°. Это способ проверить прямоугольность, не сравнивая квадраты вручную.
Для острого угла между 3 и 4, если бы гипотенуза была короче 5, косинус был бы положительным. Для тупого — сторона напротив угла длиннее 5. Граница — как раз пифагорова тройка.
Как пользоваться
Выберите неизвестное: сторону c или угол C. Для стороны введите a, b и угол между ними. Для угла введите все три стороны. Единицы длин — одни и те же; угол — градусы или радианы в списке поля. На схеме C лежит при вершине между сторонами a и b, напротив подписана c.
Примеры 3–4–5, равносторонний и 5–5–6
Прямоугольный 3–4–5 уже разобран: C = 90° между катетами. Равносторонний со стороной 2: a = b = 2, c = 2, cos C = (4 + 4 − 4) / 8 = ½, C = 60°. Это все три угла равностороннего треугольника.
Равнобедренный 5, 5, 6: пусть a = b = 5, c = 6 — угол при вершине между боковыми. cos C = (25 + 25 − 36) / 50 = 14/50 = 0,28, C ≈ 73,74°. Углы при основании одинаковы, каждый (180° − C) / 2. Высоту к основанию 6 считает равнобедренный: h = 4, площадь 12. Через косинус площадь не считается — только угол и третья сторона.
Ещё один ход: a = 7, b = 8, C = 60°. Тогда c² = 49 + 64 − 2·7·8·½ = 113 − 56 = 57, c = √57. Корень можно сверить на странице квадратного корня. Площадь при тех же 7, 8 и 60°: ½·7·8·sin 60° = 28 · √3/2 = 14√3. Описанная окружность после трёх сторон — R; площадь круга радиуса R — площадь круга.
Типичные ошибки
- Подставить угол, который не лежит между a и b.
- Забыть минус перед 2ab cos C и получить сумму квадратов, как у Пифагора, для острого угла.
- Считать, что отрицательный косинус — ошибка счёта, а не признак тупого угла.
- Применять косинусы к SSA, где угол не заключённый: там синусы и возможны два треугольника.
- Ждать от этой страницы площадь или медиану — их считают соседние калькуляторы.
Частые вопросы
- Чем теорема косинусов удобнее синусов?
- Для трёх сторон угол находится однозначно: cos C = (a² + b² − c²) / (2ab). Синусы при SSA могут дать два треугольника. См. теорему синусов.
- Какой угол подставлять?
- Угол C лежит между сторонами a и b и находится напротив стороны c. Если взять другой угол, квадрат получится у не той стороны.
- Что значит отрицательный косинус?
- Угол C тупой: больше 90° и меньше 180°. Тогда c² = a² + b² − 2ab·(отрицательное число) больше, чем a² + b²: сторона напротив тупого угла — самая длинная.
- Сводится ли формула к Пифагору?
- Да, при C = 90° косинус нулевой, остаётся c² = a² + b². Этот частный случай отдельно считает теорема Пифагора.
- Можно ли сразу найти площадь?
- Косинусы дают сторону или угол, не площадь. При двух сторонах и заключённом угле площадь S = ½ab sin C считает площадь SAS. При трёх сторонах — Герон.
- Нужен ли квадратный корень отдельно?
- Для стороны c корень входит в формулу: c = √(a² + b² − 2ab cos C). Саму операцию √x разбирает квадратный корень.