Сторона к синусу противолежащего угла
Теорема синусов утверждает, что в любом треугольнике отношение длины стороны к синусу угла напротив этой стороны одно и то же. Если напротив стороны a лежит угол A, а напротив b — угол B, то a / sin A = b / sin B. То же верно для третьей пары c и C. Это не «синус прилежащего угла» и не отношение катета к гипотенузе из остроугольного прямоугольного треугольника: здесь угол именно противолежащий выбранной стороне.
Практический смысл: зная одну сторону и два угла (или сторону, её угол и ещё одну сторону), можно восстановить недостающую длину или градусы. Высоту проводить не нужно. Раздел: треугольник.
a / sin A = b / sin B
Калькулятор держит четыре величины: a, A, b, B. Одну из них выбирают неизвестной, три остальные вводят. Формула для стороны a читается так: a = b · sin A / sin B. Для угла A используется арксинус: A = arcsin(a sin B / b). Именно эта запись и создаёт ограничение, о котором ниже: арксинус не знает, острый угол или тупой.
Отношение равно диаметру описанной окружности
Полная запись теоремы синусов: a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R, где R — радиус окружности, проходящей через все три вершины. Геометрически сторона a есть хорда этой окружности, стягивающая центральный угол 2A; длина хорды как раз 2R sin A. Отсюда a = 2R sin A и знакомое отношение a / sin A = 2R.
Если уже известны все три стороны, R удобнее считать напрямую: R = abc / (4S), площадь S — по формуле Герона. Страница радиуса описанной окружности делает этот ход без углов. Наоборот, если известны сторона и противолежащий угол, 2R находится из синусов, а площадь круга с таким радиусом — на площади круга.
Вписанная окружность здесь ни при чём: её радиус r = S / s считает вписанная окружность. Путать R и r нельзя: у прямоугольного 3–4–5 описанный радиус 2,5, вписанный — 1.
Разбор треугольника 30°–60°–90°
Классический прямоугольный треугольник с углами 30°, 60° и 90° даёт прозрачную проверку. Пусть угол B = 90°, сторона b (гипотенуза) = 10, угол A = 30°. Тогда a = 10 · sin 30° / sin 90° = 10 · 0,5 / 1 = 5. Катет напротив 30° вдвое короче гипотенузы — школьное правило совпало с теоремой синусов. Угол 60° напротив стороны 5√3: B = arcsin(5√3 · sin 30° / 5) = 60°, если выбрать сторону a = 5, угол A = 30° и сторону b = 5√3.
Тот же треугольник можно закрыть теоремой Пифагора: 5² + (5√3)² = 25 + 75 = 100 = 10². Пифагор не даст углы; синусы дают. Площадь при известных катетах 5 и 5√3 равна ½ · 5 · 5√3 = 12,5√3 — это уже площадь по двум сторонам и заключённому углу с углом 90°, либо основание и высота, если один катет принят за высоту.
Равносторонний со стороной 2 — другой учебный якорь: все углы 60°, все стороны 2. Теорема синусов сводится к тождеству 2 / sin 60° = 2 / (√3/2) = 4/√3 = 2R, откуда R = 2/√3, что совпадает с формулой равностороннего треугольника для описанного радиуса. Периметр такого треугольника 6 считает периметр.
Неоднозначность SSA
SSA — две стороны и угол, лежащий напротив одной из них, а не между ними. Это самый коварный набор данных. Пусть известны угол A, сторона a напротив него и сторона b. Из теоремы синусов sin B = b sin A / a. Если это число больше 1, треугольника нет. Если равно 1, угол B прямой, треугольник один. Если меньше 1, арксинус даёт острый угол B₁, а ещё возможен тупой B₂ = 180° − B₁.
Тупой вариант существует не всегда. Сумма A + B₂ должна быть меньше 180°, иначе третьего угла не останется. Кроме того, при остром A сторона a должна быть достаточно длинной, чтобы «достать» до стороны b во втором положении: геометрически это условие a > h, где h = b sin A — высота, опущенная из вершины на сторону, содержащую b, и одновременно a < b. Если a ≥ b и угол A острый, тупого двойника нет: сторона напротив угла уже не короче соседней, второй «перегиб» не складывается.
Калькулятор этого выбора не делает: он считает одно число по формуле с arcsin. Если в задаче сказано «найдите оба возможных треугольника», второй угол нужно дописать вручную как 180° минус полученный острый и проверить, что сумма с данным углом меньше 180°. Случай SAS — две стороны и угол между ними — неоднозначности не даёт: его закрывают теорема косинусов или площадь ½ab sin C.
Почему калькулятор берёт острый арксинус
Функция arcsin определена на отрезке [−1, 1] и возвращает угол в диапазоне от −90° до 90° (или от −π/2 до π/2 в радианах). В треугольнике углы положительны и меньше 180°, поэтому отрицательный ответ не возникает при корректных данных. Зато тупой угол, синус которого равен синусу острого дополнения до 180°, арксинус сам не выдаст: sin 150° = sin 30° = ½, а arcsin(½) = 30°, не 150°.
Это честное ограничение, а не сбой. Если по смыслу задачи угол напротив большей стороны должен быть тупым, возьмите 180° минус ответ калькулятора. Проверка: большая сторона лежит напротив большего угла. Для тройки сторон 5, 5, 6 угол напротив основания 6 тупой не будет — треугольник остроугольный, в чём помогает равнобедренный треугольник с основанием 6 и боковыми 5: высота 4, все углы острые.
Корень из выражения под синусом здесь не извлекают. Если всё же нужно отдельно посчитать √x при разборе вручную, есть калькулятор квадратного корня — но в теореме синусов корень не входит.
Как задать неизвестное и единицы
Выберите, что найти: сторону a, угол A, сторону b или угол B. Введите три известные величины. Углы — в градусах или радианах, как удобно условию; калькулятор переводит их сам, если единицы указаны в списках. Стороны должны быть в одной длине: нельзя смешивать «5 м» и «10 см» без перевода. После «Рассчитать» появятся число, подстановка в a / sin A = b / sin B и схема с подписанными сторонами и углами.
Неизвестный угол имеет смысл искать, когда известны обе стороны и один противолежащий угол. Неизвестную сторону — когда известны её угол, вторая сторона и угол напротив второй стороны. Если даны три стороны и ни одного угла, синусы не стартуют: сначала угол через косинусы, либо сразу площадь через Герона.
Синусы, косинусы и радиусы
Когда известны две стороны и заключённый угол, синусы не нужны: третья сторона — косинусы, площадь — ½ab sin C. Медиану по трём сторонам считает медиана треугольника; она к углам не обращается. Если нужна только сумма сторон — периметр.
Цепочка «сторона → синус угла → 2R» стыкуется с описанной окружностью. Цепочка «площадь и полупериметр → r» — с вписанной. Обе окружности и все формулы треугольника собраны в хабе треугольник.
Типичные ошибки
- Подставить прилежащий угол вместо противолежащего: теорема требует угол напротив выбранной стороны.
- Забыть неоднозначность SSA и принять единственный острый ответ, хотя чертёж допускает тупой.
- Смешать градусы и радианы в одной задаче или считать sin 30 как синус 30 радиан.
- Применить синусы к прямоугольному треугольнику вместо Пифагора, когда углы неизвестны, а известны два катета.
- Путать 2R с радиусом вписанной окружности.
Частые вопросы
- Что связывает теорема синусов?
- Сторону и противолежащий ей угол: a / sin A = b / sin B. Третья пара c / sin C равна тому же числу.
- Зачем в формуле 2R?
- Общее отношение равно диаметру описанной окружности. Радиус R считает описанная окружность треугольника.
- Когда появляются два треугольника?
- В случае SSA: даны две стороны и угол напротив одной из них. Если угол острый и «высота» меньше данной стороны, но сторона короче второй, возможны острый и тупой варианты.
- Почему угол получился острым, хотя в чертеже тупой?
- Арксинус возвращает главное значение от −90° до 90°. Второй угол в треугольнике — 180° минус этот острый. Калькулятор сам тупой не подставляет.
- Чем синусы отличаются от Пифагора?
- Теорема Пифагора работает только при прямом угле. Синусы годятся для косоугольного треугольника, если есть сторона и противолежащий угол.
- Какие единицы у углов?
- Градусы или радианы — выберите в списке поля. Длины сторон задавайте в одних единицах: метры с метрами, сантиметры с сантиметрами.