Только прямоугольный треугольник
Синус, косинус и тангенс острого угла в школе почти всегда появляются на прямоугольном треугольнике. Один угол прямой, два других острые и в сумме дают 90°. Стороны, которые образуют прямой угол, — катеты. Сторона напротив прямого угла — гипотенуза, она самая длинная. Калькулятор этой страницы не работает с тупым или остроугольным косоугольным треугольником: там нет катетов и гипотенузы в школьном смысле.
Поля: острый угол A, противолежащий ему катет a, прилежащий катет b и гипотенуза c. Прямой угол в форму не входит — он уже «зашит» в определениях. Раздел: треугольник.
Какой катет противолежащий
Путаница «какой из катетов a» ломает ответ чаще, чем арифметика. Зафиксируйте острый угол A. Из этой вершины выходят две стороны: гипотенуза и один катет. Катет, который выходит из A, — прилежащий: он «лежит рядом» с углом. Второй катет угла A не касается: он лежит напротив, это противолежащий катет a. На схеме прямой угол отмечен квадратиком, угол A — у другого конца основания.
Пример. Прямой угол между сторонами 3 и 4, гипотенуза 5. Если A — угол напротив стороны 3, то a = 3, b = 4, c = 5. Если A — угол напротив 4, роли катетов меняются: a = 4, b = 3, гипотенуза та же. Поменять a и b местами — получить другой острый угол, дополнение до 90°.
Синус, косинус и тангенс
A = arctan(a / b), sin A = a/c, cos A = b/c, tan A = a/b
Определения не требуют теорем про произвольный треугольник. sin A = a / c — противолежащий катет, делённый на гипотенузу. cos A = b / c — прилежащий катет на гипотенузу. tan A = a / b — отношение катетов, гипотенуза в тангенс не входит. Три равенства связаны: tan A = sin A / cos A, и sin² A + cos² A = 1. Последнее — запись Пифагора, делённая на c².
Калькулятор ищет угол через арктангенс: A = arctan(a / b). При положительных катетах ответ острый, что и нужно. Катет a по гипотенузе и углу: a = c · sin A. Прилежащий: b = c · cos A. Гипотенуза по противолежащему катету и углу: c = a / sin A. Градусы внутри переводятся в радианы сами: вручную делить на 180 и умножать на π не надо.
Тройка 3–4–5: sin = 3/5
Самый короткий целочисленный прямоугольный треугольник. Угол напротив катета 3: sin = 3/5 = 0,6, cos = 4/5 = 0,8, tan = 3/4 = 0,75. Арктангенс 0,75 даёт примерно 36,87°. Второй острый угол напротив 4: около 53,13°, синус уже 4/5. Сумма 90°, как и должно быть.
Проверка сторон — на странице теоремы Пифагора: 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5². Площадь ½ · 3 · 4 = 6 считает основание и высота или две стороны и прямой угол. Тригонометрия угла к площади не обязана: можно найти угол и не трогать площадь, можно найти площадь и не трогать угол.
Треугольник 30°–60°–90°
Катет напротив 30° равен половине гипотенузы. Если c = 10 и A = 30°, противолежащий катет a = 10 · sin 30° = 10 · ½ = 5. Прилежащий к 30° — это катет напротив 60°: b = 10 · cos 30° = 10 · √3 / 2 = 5√3 ≈ 8,660. Обратный ход: по катету 5 и углу 30° гипотенуза c = 5 / sin 30° = 10.
Тот же набор длин закрывается Пифагором: 5² + (5√3)² = 25 + 75 = 100 = 10². Равнобедренный прямоугольный — другой якорь: оба острых угла по 45°, катеты равны, гипотенуза катет√2. Страница равнобедренного треугольника считает высоту к основанию; здесь высота к гипотенузе уже не катет, и определения sin/cos привязаны к выбранному острому углу, не к высоте.
Это не теорема синусов и не Пифагор
Теорема синусов говорит: в любом треугольнике a / sin A = b / sin B = 2R. Угол там противолежащий стороне, треугольник может быть косоугольным, гипотенузы нет. Формально для прямоугольного с гипотенузой c и углом A равенство a / sin A = c / sin 90° превращается в a = c sin A — то же число, другой смысл. Эта страница не ищет 2R и не берёт второй угол B: только острый угол и три стороны прямоугольного треугольника.
Пифагор не выдаёт градусы. Косинусы для произвольного треугольника ищут угол по трём сторонам без прямого угла. Если треугольник не прямоугольный, определения «катет напротив / гипотенуза» применять нельзя: нет гипотенузы. Тогда либо синусы и косинусы общего треугольника, либо сначала проверьте прямой угол сравнением a² + b² и c².
Описанная окружность прямоугольного треугольника имеет диаметр-гипотенузу, R = c/2. Это соседняя описанная окружность, не синус угла. Вписанный радиус r = (a + b − c) / 2 считает вписанная.
Как выбрать неизвестное
Нужен угол — введите два катета: противолежащий a и прилежащий b. Гипотенузу можно не заполнять. Нужен противолежащий катет — введите гипотенузу и угол. Нужен прилежащий — гипотенуза и угол, неизвестное b. Нужна гипотенуза — противолежащий катет и угол. Не заполняйте лишние поля: калькулятор берёт только те величины, которые входят в выбранную формулу.
Единицы длин любые, лишь бы согласованы. Угол — градусы по умолчанию. Периметр 3 + 4 + 5 = 12, если нужен контур, на периметре треугольника. Площадь круга по найденному катету или гипотенузе эта страница не считает: круг — в разделе круга.
Типичные ошибки
- Назвать противолежащим катет, который выходит из угла A.
- Делить катет на катет и называть это синусом: это тангенс.
- Подставить косоугольный треугольник и ждать «синус как катет к гипотенузе».
- Искать тупой угол: оба непрямых угла здесь острые.
- Забыть, что sin 30° = ½, и получить катет, равный гипотенузе.
Частые вопросы
- Чему равен синус острого угла в прямоугольном треугольнике?
- Отношению противолежащего катета к гипотенузе: sin A = a / c. Косинус — прилежащий катет к гипотенузе, тангенс — противолежащий к прилежащему.
- Как понять, какой катет противолежащий?
- Противолежащий не касается выбранного острого угла: он лежит напротив. Прилежащий выходит из этого угла и идёт к прямому. Гипотенуза всегда напротив прямого угла.
- Подойдёт ли калькулятор для косоугольного треугольника?
- Нет. Здесь прямой угол обязателен. Для произвольного треугольника берите теорему синусов или теорему косинусов.
- Чем это отличается от теоремы Пифагора?
- Пифагор связывает три стороны: c² = a² + b², углы не нужны. Здесь как раз углы: по двум катетам находится острый угол, по гипотенузе и углу — катет.
- Почему у 3–4–5 синус угла напротив 3 равен 0,6?
- Гипотенуза 5, противолежащий катет 3, sin A = 3/5 = 0,6. Косинус того же угла 4/5 = 0,8, тангенс 3/4 = 0,75. Угол около 36,87°.
- В каких единицах задавать угол?
- В градусах или радианах — выберите единицу у поля угла. Длины катетов и гипотенузы держите в одном масштабе: метры с метрами, сантиметры с сантиметрами.