Расстояние до нуля
Модуль (абсолютная величина) |x| — расстояние от точки x до нуля на прямой. Оно неотрицательно. Калькулятор считает |x| для одного числа. Раздел: арифметика.
Геометрия: длина отрезка от 0 до x, без знака направления. Алгебра: «снять минус», если он был. Не остаток от деления — английское modulo путают с modulus, это разные слова.
Тест: |−5| = 5, |3| = 3, |0| = 0.
|x| = x или −x
y = |x|
Кусочное определение: если x ≥ 0, оставляют x; если x < 0, меняют знак. −(−5) = 5. Для нуля оба куска согласованы.
Свойства: |x| ≥ 0, |x| = 0 ⇔ x = 0, |xy| = |x||y|, |x + y| ≤ |x| + |y| (треугольник). Калькулятор проверяет первое на одном числе, не доказывает неравенства.
Связь с научной записью: порядок берётся по |x|, знак живёт в мантиссе. Связь с линейным уравнением: |x| = 2 даёт два корня ±2, эта страница один модуль не «расщепляет» на пару.
Числовая прямая
Точки 5 и −5 симметричны относительно нуля, модуль у обеих 5. Стрелка «влево» или «вправо» для модуля не важна — важна длина.
Как пользоваться
Введите x, получите |x|. Обратного хода «восстановить x по модулю» нет: из 5 неясно, было 5 или −5.
Примеры
Отрицательное. |−5| = 5.
Положительное. |3| = 3, модуль ничего не меняет.
Нуль. |0| = 0.
Дробь. |−3/4| = 3/4. Саму дробь сложите на сложении, модуль — знак.
Десятичное. |−1,26| = 1,26, затем при желании округлите.
Большое. |−6,02·10²³| сначала как число, порядок тот же; удобнее научная запись после модуля.
Не остаток. 17 mod 5 = 2 на странице остатка, |17| = 17.
Неравенство рядом. Луч x > 2 — линейное неравенство, не модуль одного числа.
Расстояние между точками. Расстояние от −3 до 5 на прямой равно |5 − (−3)| = 8. Калькулятор считает модуль одного числа; разность двух точек сначала найдите сами, затем введите как x. Это не два поля «от и до».
Кусочная проверка. Для x = 7 определение берёт «положительную ветвь», |7| = 7. Для x = −7 — «смену знака». Граница 0 принадлежит неотрицательной ветви. На графике y = |x| — угол с вершиной в нуле, левая сторона отражение правой.
Произведение. |−2|·|−3| = 2·3 = 6 = |(−2)·(−3)|. Модуль произведения равен произведению модулей. Модуль суммы так не распадается: |−2 + 3| = 1, а |−2| + |3| = 5.
Уравнение |x| = 4. Два корня, 4 и −4. Эта страница не решает уравнение: она для уже известного x. Линейное ax + b = c без модуля — линейное уравнение.
Дроби со знаком. |(−3)/4| = 3/4. Знак можно было отнести к знаменателю: |3/(−4)| тоже 3/4. Сложение таких дробей — на сложении, модуль снимает знак после или до — по смыслу задачи.
Не неравенство и не остаток
Уравнения с модулем, интервалы |x − a| < δ, норма вектора — другие задачи. Остаток r при делении всегда 0 ≤ r < |b|, это похоже на «неотрицательность», но формула другая.
Ещё примеры модуля
|100| = 100, |−100| = 100, |−0,5| = 0,5, |2/7| = 2/7. Температура «минус 15» как модуль 15 — отклонение от нуля, не «теплее».
Разность координат на прямой: от 2 до −7 расстояние |2 − (−7)| = 9. Введите 9? Нет, введите 9 только если уже вычли. Либо введите −9, модуль снова 9. Поля «две точки» нет.
Неравенство |x| < 3 означает −3 < x < 3. Калькулятор этого не пишет интервалом: он не получил x как неизвестное. Для луча без модуля — линейное неравенство.
Вложенный модуль ||x|| = |x|. Двойной модуль ничего нового не даёт. |−|−5|| в школьной записи с осторожностью скобок: внутренний |−5| = 5, внешний |5| = 5.
Связь с квадратом: |x| = √(x²) для действительных x. Квадратный корень из квадрата как раз модуль. Отдельная страница корня запрещает отрицательное подкоренное, поэтому √(x²) считают как составную операцию, не одним полем корня от минуса.
Ещё числа: |−12,8| = 12,8, |1/2| = 1/2, |−1/2| = 1/2, |10³| как модуль тысячи — сначала получите число 1000. Модуль не «снимает степень».
Отклонение от нормы: норма 20, факт 17, модуль разности |17−20| = 3. Снова разность вне калькулятора, внутрь идёт уже −3 или 3. Знак отклонения теряется — если знак важен, модуль не берите.
Координата шага назад: из 4 влево на 9 единиц попадаете в −5, модуль шага 9, модуль координаты 5. Это разные модули. Страница считает только то, что ввели в x. Не подставляйте сразу обе точки парой. Модуль одной координаты и модуль шага — разные вводы и разные ответы.
Типичные ошибки
- Писать |−5| = −5.
- Считать |x| = ±x как два значения модуля — модуль один, знаки появляются в уравнении.
- Путать с remainder / mod.
- Раскрывать |a + b| как |a| + |b| без оговорки — это оценка, не равенство.
- Искать x по известному модулю без дополнительного условия на знак.
Частые вопросы
- Что такое модуль числа?
- |x| — расстояние от x до нуля: |x| = x при x ≥ 0 и |x| = −x при x < 0. Всегда ≥ 0.
- Чему равен модуль −5?
- 5. Минус исчезает, пятёрка остаётся.
- Чему равен модуль нуля?
- Нулю. |0| = 0.
- Модуль отрицательный бывает?
- Нет. По определению |x| ≥ 0.
- Это решение |x| меньше 2?
- Линейное неравенство на этой странице не решается. Модуль только считает |x| для одного числа.
- Нужно ли округлять модуль?
- Если просят «до сотых» — после модуля откройте округление.