Два сравнения сразу
Калькулятор ищет целое x, которое даёт остаток a₁ при делении на m₁ и остаток a₂ при делении на m₂. Раздел: теория чисел.
Не система двух линейных уравнений с парой (x, y). Не одно деление с остатком. Обратный элемент — сосед.
Тест: x ≡ 2 (mod 3), x ≡ 3 (mod 5) → 8, период 15. 8 = 2·3 + 2, 8 = 1·5 + 3. Второй тест: 2 по модулю 4 и 0 по модулю 6 → 6, период 12. Несовместно: 1 по модулю 4 и 0 по модулю 6.
x ≡ a₁ (mod m₁), x ≡ a₂ (mod m₂)
x ≡ a₁ (mod m₁), x ≡ a₂ (mod m₂)
Если g = НОД(m₁, m₂) не делит a₁ − a₂, системы нет. Иначе решение единственно по модулю M = НОК(m₁, m₂). Калькулятор выдаёт представитель 0 ≤ x < M и само M.
Как пользоваться
Введите два остатка и два натуральных модуля. Проверка: остатки x при делении на m₁ и m₂ должны совпасть с a₁, a₂ (после приведения остатков в 0…m−1).
Примеры
Классика. 2 mod 3 и 3 mod 5 → 8 (mod 15).
Не взаимно простые, но совместные. 2 mod 4 и 0 mod 6 → 6 (mod 12).
Несовместно. 1 mod 4 и 0 mod 6.
Ещё системы
x ≡ 0 (mod 2), x ≡ 0 (mod 3) — чётные, кратные трём, то есть кратные 6. Ответ 0 по модулю 6. Остатки нули не запрещены.
x ≡ 1 (mod 4), x ≡ 1 (mod 6). НОД = 2, разность 0 делится. Решение 1 по модулю 12? 1%4=1, 1%6=1 да. M = 12.
Школьная «взаимно простые модули» — достаточное условие единственности по произведению, не необходимое для существования. 4 и 6 не взаимно просты, но часть систем жива.
Приведение остатка: если ввели a₁ = 5 при m₁ = 3, это то же, что 2. Калькулятор не требует заранее 0 ≤ a < m, но внутренне работает с целыми. Надёжнее сразу нормализовать.
Три модуля страница не берёт. Сверните первые два в одно сравнение x ≡ x₀ (mod M), затем в тетради добавьте третье.
Связь с взаимной простотой модулей: если взаимно просты, M = m₁ m₂ всегда, решение всегда есть (любые остатки).
Не решайте ax + b = c как КТО. И не кладите определитель 2×2 вместо модулей.
Проверка периода: x и x+M дают те же остатки. Если учитель ждёт «наименьшее положительное», наш x уже в 0…M−1; ноль допускается.
Безу явно: x = a₁ + m₁ t, подставляют во второе сравнение. Калькулятор этот t считает сам.
Отрицательный модуль запрещён (min 1). Отрицательный остаток: −1 mod 5 лучше подать как 4, либо проверить, как страница нормализует ответ x, не вход.
Большие модули: произведение может выйти за удобный диапазон целых JS. Для школьных и олимпиадных пар страница рассчитана; гигантские ключи — не её задача.
Итог: два сравнения, одно x и период M. Несовместность — ошибка, не «пустое множество» списком. Линейная система 2×2 — другой хаб.
Ещё классика: x ≡ 2 (mod 5), x ≡ 3 (mod 7). Произведение 35. Перебор 2, 7, 12, 17, 22, 27, 32: из них 17 даёт 17−14=3 по семёрке. Ответ 17, M = 35.
x ≡ 0 (mod 4), x ≡ 2 (mod 6). НОД = 2, 0−2 = −2 делится. Совместно. Кратное 4, при делении на 6 остаток 2: 8? 8%6=2, 8%4=0. Да, 8. M = 12. Следующее 20 и т.д.
Несовместное «чётное и нечётное одновременно»: x ≡ 0 (mod 2), x ≡ 1 (mod 2) — одинаковый модуль, разные остатки. НОД = 2, разность 1 не делится. Ошибка. Дважды один модуль имеет смысл только при равных остатках.
Связь с календарём и «маяками»: два периода m₁, m₂ и фазы a₁, a₂. Это та же система. Не путайте с НОК без фаз: НОК даёт только период совпадения нулевых фаз.
Остатки больше модуля: a₁ = 10, m₁ = 7 то же, что 3. Если ответ не сходится с тетрадью, сначала приведите входы к 0…m−1 и сравните ещё раз.
Школьные формулировки
«Число при делении на 3 даёт 2, при делении на 5 даёт 3» — тест страницы, x = 8. «Найдите все такие» — 8 + 15k. Калькулятор печатает 8 и модуль 15, не бесконечный список.
«Доказать, что решений нет» — подайте остатки. Если ошибка несовместности, доказательство — НОД не делит разность. Для 1 mod 4 и 0 mod 6 так и есть.
Не открывайте систему 2×2 с восемью коэффициентами прямых. И не пропорцию четырёх чисел.
Проверка периода 15: 8, 23, 38… все дают остаток 2 по 3 и 3 по 5. Отрицательные: 8−15=−7, −7+9=2 при делении на 3 с евклидовым остатком. Школьный «отрицательный остаток» лучше привести. Калькулятор держит неотрицательный x.
Задача с тремя условиями «на 3 остаток 1, на 4 остаток 2, на 5 остаток 3» решается двумя проходами. Сначала два модуля на этой странице, затем в тетради третье. Страница третий модуль не примет четвёртой парой полей — полей только две пары.
Типичные ошибки
- Считать, что не взаимно простые модули всегда несовместны.
- Путать с системой двух неизвестных x, y.
- Забыть проверить оба остатка найденного x.
- Ждать три модуля на этой странице.
- Складывать модули вместо НОК в периоде.
Частые вопросы
- Что решает китайская теорема об остатках?
- Систему x ≡ a₁ (mod m₁), x ≡ a₂ (mod m₂). Для остатков 2 и 3 по модулям 3 и 5 получите x = 8, период 15.
- Модули обязаны быть взаимно просты?
- Не обязательно. Если НОД модулей не делит разность остатков, решений нет. Иначе период — НОК модулей.
- Где обратный по модулю?
- Он входит в ход решения. Отдельно его считает обратный по модулю.
- Это система линейных уравнений?
- Система 2×2 ищет пару (x, y) в действительных. Здесь одно целое x и два модуля.
- В каком диапазоне ответ?
- x от 0 до M − 1, где M — НОК модулей. Для взаимно простых M = m₁ m₂.
- Нужен ли расширенный Евклид?
- Да, внутри. Явные коэффициенты Безу — расширенный алгоритм Евклида.