Жюрен: столб в узкой трубке
В узком капилляре жидкость поднимается (или опускается) так, чтобы вес столба уравновесил вертикальную составляющую силы поверхностного натяжения по окружности мениска. Высота h = 2σ cosθ / (ρ g r). Раздел: жидкости и давление.
Краевой угол θ задаёт, насколько жидкость смачивает стенку. Вода по чистому стеклу — почти 0°. Ртуть — тупой угол, столб уходит вниз.
Тест при g = 10 м/с²: σ = 0,07 Н/м, θ = 0°, ρ = 1000 кг/м³, r = 0,7 мм = 7·10⁻⁴ м → h = 0,02 м = 2 см. Нулевой радиус — ошибка.
h = 2σ cosθ / (ρ g r)
h = 2 σ cos θ / (ρ g r)
Обратный ход находит σ или r. Угол калькулятор как цель не ставит: арккосинус и ветви знака оставляем тетради. g по умолчанию 9,81 м/с²; в тестах и многих задачах берут 10.
Радиус — внутренний радиус трубки, не диаметр. Если в условии «диаметр 1 мм», r = 0,5 мм. Ошибка в два раза в r даёт ошибку в два раза в h.
Не ρgh как запрос и не σL
Гидростатическое давление отвечает: какое p на глубине h. Капилляр отвечает: какая h установится. Не вводите готовое p вместо σ.
F = σ L — сила на длину без столба. Плотность ρ здесь обязательна: лёгкая жидкость поднимается выше при прочих равных. p = F/A к мениску не подставляют как замену формулы Жюрена.
Архимед — выталкивание погружённого тела, не высота в капилляре. Путать ρgV и ρgrh нельзя: объём столба πr²h появляется в выводе, но цель страницы — h, не сила Архимеда.
Как пользоваться
Цель — h, σ или r. Угол в градусах: 0, 30, 90. Радиус 0,7 мм = 0,0007 м. Плотность воды 1000, спирта порядка 800, ртути 13 600 кг/м³. g можно оставить 9,81 или поставить 10, как в условии.
Примеры
Прямая. 0,07 Н/м, 0°, 1000 кг/м³, g = 10, r = 0,0007 м → h = 0,02 м.
Коэффициент. Та же высота и радиус → σ = 0,07 Н/м.
Несмачивание. θ = 90° → h = 0, даже если σ не ноль.
Запрет. r = 0 — деление на ноль.
Ещё капилляры
Вода, полное смачивание, r = 0,1 мм = 10⁻⁴ м, σ = 0,073, ρ = 1000, g = 9,8: h ≈ 2·0,073 / (1000·9,8·10⁻⁴) ≈ 0,15 м. В тонком капилляре столб сантиметров, не миллиметров. Проверьте порядок: уменьшили r в семь раз относительно теста 0,7 мм — высота выросла примерно в семь раз.
Диаметр 2 мм значит r = 1 мм = 0,001 м. При тех же 0,07, 1000 и 10 высота h = 2·0,07 / (1000·10·0,001) = 0,014 м = 1,4 см. Если подставить диаметр как радиус, получите вдвое меньшую высоту — классическая ошибка контрольной.
Спирт ρ ≈ 790 кг/м³, σ меньше воды, порядка 0,022 Н/м. Не копируйте водные 0,07. При том же r = 0,0007 и g = 10: h = 2·0,022 / (790·10·0,0007) ≈ 0,008 м. Ниже воды и из‑за малого σ, и несмотря на меньшую плотность.
Ртуть в стекле: θ ≈ 140°, cos отрицательный, h < 0 — опускание. |cos 140°| ≈ 0,766. ρ = 13 600. Даже при малом r столб вниз скромный из‑за огромной плотности. Калькулятор примет тупой угол в градусах; не переводите 140° в радианы вручную, если единица стоит «градус».
Связь с гидростатикой: после того как h известно, давление под мениском относительно атмосферы можно обсуждать как ρgh. Считать его удобно на странице ρgh, подставив найденную высоту. Не решайте капилляр «из давления», пока h ещё неизвестна.
Сила по окружности F = σ · 2πr, вертикаль F cosθ = 2π r σ cosθ. Вес столба ρ g π r² h. Сокращение π r даёт формулу Жюрена. Если учитель просит «сначала силу, потом высоту», силу возьмите на странице σL с L = 2πr, затем разделите на вес единицы высоты ρ g π r².
g = 9,81 против 10: в тесте с r = 0,0007 и σ = 0,07 при 9,81 высота чуть меньше 2 см. Если в ответе ключа 2,00 см, автор скорее всего взял g = 10. Не спорьте с ключом размерностью — согласуйте g.
Две трубки: радиусы 0,2 мм и 0,4 мм, одна жидкость, θ = 0. Высоты относятся как 2 : 1. Проверка: удвоили r — высота половинная. Если в таблице высот отношение не обратное радиусам, ищите разные жидкости или разные углы, не ошибку калькулятора.
θ = 60°, cos 60° = 1/2, высота вдвое меньше, чем при полном смачивании. Не берите cos 60° = 60 и не подставляйте 60 радиан. Градусы переводятся сами, если единица угла — градус.
Капилляр в грунте и «высота смачивания» в строительстве — родственные оценки порядка 1/r, но поры не круглые трубки постоянного r. Эта страница — идеальный цилиндр. Не выдавайте школьный Жюрен за расчёт фундамента.
Атмосферное давление в формулу не входит: с обеих сторон мениска атмосфера одна, поднимает столб именно натяжение против веса. Барометрическая трубка с ртутью — другой прибор: там столб держит атмосферное давление, не σ. Не смешивайте 760 мм рт. ст. с капиллярной поправкой барометра — поправка есть, но это не вся высота барометра.
Нулевая плотность запрещена физически и в знаменателе. Вакуум в капилляре модель не описывает. Нулевое g — «нет веса столба», высота формально бесконечна; калькулятор g не обнуляет, константа положительная.
Единицы r: 0,7 мм в поле «м» как 0,7 дадут трубу почти метр радиусом и крошечный h. Смотрите единицу длины. σ в мН/м: 70 мН/м = 0,07 Н/м. Плотность 1 г/см³ = 1000 кг/м³, не 1.
Типичные ошибки
- Подставить диаметр вместо радиуса.
- Угол в градусах посчитать как радианы вручную и ещё раз перевести.
- Взять σ воды для спирта или ртути.
- Искать h по F = σL без ρ, g и площади сечения.
- Делить на нулевой радиус.
Частые вопросы
- Какая формула капиллярного подъёма?
- h = 2σ cosθ / (ρ g r). Полное смачивание — θ = 0°, cos = 1, высота максимальна. Угол в калькуляторе — в градусах, если не переключили на радианы.
- Почему чем тоньше трубка, тем выше столб?
- Радиус в знаменателе. Сила натяжения растёт как периметр ~ r, вес столба — как площадь ~ r², поэтому h ~ 1/r.
- Это гидростатическое давление ρgh?
- Страница ρgh считает давление столба по известной высоте. Здесь высоту ищут из баланса натяжения и веса. Обе формулы содержат ρgh, но вопросы разные.
- Где сила F = σL?
- Сила вдоль контура F = σL. В выводе Жюрена L = 2πr, вертикаль F cosθ уравновешивает вес ρ g (πr² h). Калькулятор сразу даёт h, не промежуточную силу.
- Что будет при θ = 90°?
- Косинус нуль, подъёма нет: h = 0. При θ больше 90° косинус отрицательный — жидкость опускается (ртуть в стекле). Калькулятор это допускает: h может быть отрицательным.
- Почему радиус нуль запрещён?
- Деление на r. Бесконечно тонкой трубки в модели нет. Нулевая плотность и g тоже ломают знаменатель.
Источники
- Сивухин Д. В. Общий курс физики. Механика.
- Иродов И. Е. Основные законы механики.
- BIPM. The International System of Units (SI).