Ламинарное течение в трубе
Закон Пуазейля даёт расход через круглую трубу постоянного радиуса, когда слои жидкости скользят друг по другу, а у стенки скорость ноль. Движущая сила — перепад давления, сопротивление — вязкость. Раздел: жидкости и давление.
Тест с удобными числами: r = 1 м, Δp = 8 Па, η = 1 Па·с, L = 1 м → Q = π м³/с. Нулевая длина — ошибка (деления на ноль).
Q = π r⁴ Δp / (8 η L)
Q = π r⁴ Δp / (8 η L)
Радиус в четвёртой степени: чуть изменили просвет — расход меняется сильно. Восемь в знаменателе и π — из интегрирования параболического профиля скорости, не «подгонка».
Обратный ход: Δp, η, L. Радиус как цель не выводим: четвёртая степень неудобна для школьной подстановки в этом калькуляторе, r задают.
Почему r⁴
Площадь сечения ~ r², характерный градиент скорости ~ v/r, сила вязкости и расход после интегрирования по кольцам дают ещё r², итого r⁴. Удвоили радиус — расход в 16 раз при тех же Δp, η, L.
Гидростатический перепад можно оценить как ρgΔh на странице ρgh, затем подставить как Δp сюда. Сам калькулятор столб не считает.
Как пользоваться
Выберите Q, Δp, η или L. Радиус всегда нужен как вход для этих целей. Вязкость воды ~0,001 Па·с = 1 мПа·с = 1 сП. Не ставьте 1 вместо 0,001 «потому что вода».
Примеры
Базовый. r = 1, Δp = 8, η = 1, L = 1 → Q = π.
Перепад. Q = π и те же r, η, L → Δp = 8 Па.
Вязкость. те же Q, r, Δp, L → η = 1 Па·с.
Запрет. L = 0.
Ещё трубы
Капилляр r = 0,5 мм = 5·10⁻⁴ м, L = 0,1 м, вода η = 0,001, Δp = 1000 Па. r⁴ = 6,25·10⁻¹⁴, Q = π·6,25·10⁻¹⁴·1000 / (8·0,001·0,1) ≈ 2,5·10⁻⁷ м³/с — капли, не река. Без перевода мм в метры ответ будет на 12 порядков больше.
Удвоили r, оставили всё: Q×16. Сузили вдвое — Q/16. Сантехник «чуть тонже шланг» это чувствует; формула объясняет, почему.
Удвоили длину — Q вдвое меньше. Удвоили вязкость — тоже вдвое меньше. Удвоили перепад — вдвое больше. Линейность по Δp, η, L и жестокая по r.
Связь со средней скоростью: v_ср = Q / (π r²) = r² Δp / (8 η L). Это не поле v калькулятора расхода: там v вводят, здесь его можно вычислить после Q. Страница Q = Av примет A = πr² и этот v.
Не нефтяная скважина в турбулентности и не пресс Паскаля: пресс — статика, здесь течение. Стокс шарика — 6π η r v, геометрия другая.
Глицерин η ~ 1 Па·с при комнатной температуре (порядок). Вода в тысячу раз жиже. При тех же r, L, Δp расход воды в тысячу раз больше — и режим может уже не быть ламинарным. Калькулятор режим не проверяет.
Перепад 1 атм = 101325 Па на трубе. Не подставляйте «1» как паскаль. Единицы давления те же, что на странице p = F/A.
Нулевой расход при ненулевом Δp значит либо огромная вязкость, либо крошечный r, либо огромная L. Нулевой Δp даёт Q = 0: без перепада ламинарная труба не течёт в этой модели (нет сифона и тяжести внутри формулы).
Медицинская игла: крошечный r, заметная L, кровь вязче воды. Даже при большом Δp расход мал — отсюда «тугая» инъекция. Калькулятор не ставит диагноз, только r⁴. Не путайте с бытовым шлангом того же «миллиметрового» порядка без перевода единиц.
Две трубы последовательно: длины складываются в знаменателе, если r и η те же — как один L. Параллельно школьная формула Пуазейля на этой странице не суммирует: посчитайте два Q и сложите вручную, если перепад общий.
Проверка размерностей: π безразмерно, r⁴ — м⁴, Δp — Па = Н/м², η — Па·с, L — м. Числитель м⁴·Н/м² = Н·м², знаменатель Па·с·м = Н·с/м² · м = Н·с/м, частное м³/с. Если у вас «получились паскали», перепутали Q и Δp местами.
Школьный капилляр «почти как игла», но без медицины: r = 0,2 мм, L = 5 см, η воды 0,001, Δp = 2000 Па. Сначала все в СИ: 2·10⁻⁴ м, 0,05 м. r⁴ = 1,6·10⁻¹⁵. Q порядка 2,5·10⁻⁸ м³/с. Цель примера — не забыть 10⁻⁴ при миллиметрах, а не «точный клиника-расход».
Сравните с Q = Av: если из Пуазейля уже есть Q и известен r, средняя скорость v = Q/(πr²). Подставьте в расходный калькулятор как проверку, не как второй независимый закон. Расхождение значит, что перепутали радиус и диаметр.
Типичные ошибки
- Взять r² вместо r⁴.
- Диаметр вместо радиуса.
- Вязкость воды как 1 Па·с.
- Применить формулу к бурному потоку в широкой трубе.
- Делить на L = 0.
Частые вопросы
- Что описывает закон Пуазейля?
- Объёмный расход ламинарного течения вязкой жидкости в длинной круглой трубе: Q = π r⁴ Δp / (8 η L).
- Что такое Δp и η?
- Δp — перепад давления между концами трубы, η — динамическая вязкость (Па·с). Для воды порядка 10⁻³ Па·с, для глицерина намного больше.
- Это тот же расход Q = A v?
- Q = Av связывает расход со средней скоростью. Пуазейль находит Q по перепаду, вязкости и геометрии, без явного v.
- Почему не турбулентность?
- Формула выведена для ламинарного режима (малые числа Рейнольдса в трубе). При сильной турбулентности расход растёт иначе, калькулятор это не моделирует.
- Можно ли найти перепад по расходу?
- Да: Δp = 8 Q η L / (π r⁴). Длиннее труба или выше вязкость — нужен больший перепад при том же Q.
- Связь с силой Стокса?
- Обе модели про вязкость при медленном движении. Стокс — шар в безграничной жидкости, Пуазейль — труба. Не подставляйте 6π η r v вместо этой формулы.
Источники
- Сивухин Д. В. Общий курс физики. Механика.
- Иродов И. Е. Основные законы механики.
- BIPM. The International System of Units (SI).