Медленный шар в вязкой среде
Сила Стокса тормозит шар, который медленно ползёт в вязкой жидкости: слои обтекают сферу без отрыва, сопротивление линейно по скорости. F = 6π η r v. Раздел: жидкости и давление.
Тест: η = 1 Па·с, r = 1 м, v = 1 м/с → F = 6π Н. Нулевой радиус при ненулевой силе — ошибка. Реальные шарики миллиметровые, вязкость не 1, если это не глицерин.
F = 6π η r v
F = 6π η r v
Шесть пи — из решения уравнения Стокса для сферы, не «эмпирика C_d». r — радиус шара, не диаметр и не радиус трубы Пуазейля.
Обратный ход: η, r, v. Удвоили скорость — сила вдвое, не вчетверо. Это главный контраст с квадратичной моделью.
Не ½ C_d ρ A v²
Квадратичное сопротивление для заметных скоростей в воздухе и воде: там плотность среды и площадь лба, вязкость в формулу не входит. Стокс для малых Re: вязкость главная, ρ в формуле нет.
Установившаяся скорость в динамике собрана из квадратичной модели и веса. Для шарика в глицерине установившаяся скорость другая: mg − ρgV = 6π η r v. Калькулятор Стокса даёт только правую часть.
Как пользоваться
Выберите F, η, r или v. Радиус в метрах: 2 мм = 0,002 м. Вязкость в Па·с или сП. Не подставляйте C_d и площадь сечения самолёта.
Примеры
Базовый. η = 1, r = 1, v = 1 → F = 6π ≈ 18,85 Н.
Вязкость. F = 6π, r = 1, v = 1 → η = 1.
Скорость. F = 6π, η = 1, r = 1 → v = 1.
Запрет. r = 0 при F = 1.
Ещё шарики
Шарик r = 1 мм = 0,001 м в глицерине η = 1 Па·с при v = 0,01 м/с: F = 6π·1·0,001·0,01 ≈ 1,9·10⁻⁴ Н. Маленькая сила, но при малой массе шарика её хватает, чтобы быстро выйти на почти постоянную скорость.
Вода η = 0,001, тот же шарик и 0,01 м/с: сила в тысячу раз меньше. В воде такой шарик скорее разгонится, и модель Стокса может перестать быть справедливой — число Рейнольдса вырастет. Калькулятор Re не считает.
Измерить η: установившаяся v известна, вес и Архимед известны, F_стокса = mg − ρgV, затем η = F / (6π r v). Объём шара 4πr³/3, плотность жидкости — ρ = m/V для сосуда, не для шарика, если шарик стальной.
Воздух: η мала, зато для пылинки r крошечный, v тоже. Для футбольного мяча на 20 м/с Стокс бессмыслен: нужен квадрат скорости.
Сила Архимеда для шара в воде: V = 4πr³/3. При r = 0,001 м объём ~4·10⁻⁹ м³, Fₐ ~ 4·10⁻⁵ Н при g = 10 и ρ = 1000. Сравнивайте порядки со Стоксом, не складывайте формулы в одном поле.
Пуазейль и Стокс делят вязкость η, но геометрия разная: труба против шара. Не берите r трубы как r шара.
Нулевая скорость — нулевая сила Стокса. Покоящийся шар не тормозит. Сухое трение покоя — другая физика, μN.
Единицы: 1 сП = 1 мПа·с. Кровь порядка нескольких сП, вода 1 сП. Подставить «1» в Па·с для крови завысит силу в тысячу раз.
Лабораторная работа «шарик в цилиндре с глицерином»: секундомер даёт v = s/t на странице скорости, линейка — r, таблица — η или наоборот η ищут. Стекло цилиндра чуть меняет поле по сравнению с безграничной жидкостью Стокса — школьная модель этим пренебрегает.
Сравнение с квадратом: при каких v формулы разойдутся, зависит от Re = ρ v (2r) / η. Калькулятор Re не выводит. Правило: если в условии «очень медленно», «глицерин», «капля масла» — Стокс; если «велосипед», «парашют», «ветер 15 м/с» — квадрат.
Нулевая вязкость идеальной жидкости даёт F = 0 в этой модели: без трения слоёв шар не тормозит по Стоксу. Реальный воздух имеет малую, но ненулевую η; для мяча всё равно доминирует квадратичный член, не 6π η r v.
Стальной шарик в масле: плотность шарика больше плотности масла, вес больше Архимеда, разность уравновешивает Стокс на установившейся v. Если шарик всплывает (дерево, воздух в пузыре), сила Стокса направлена вниз, против всплытия. Знак в калькуляторе не ставят: F — модуль сопротивления.
Порядок силы в воздухе: η ≈ 1,8·10⁻⁵, r = 0,1 м (яблоко), v = 1 м/с → F ≈ 6π·1,8·10⁻⁵·0,1·1 ≈ 3·10⁻⁵ Н. Ничтожно. Квадратичная сила при C_d ~ 0,5, ρ = 1,2, A ~ 0,03 м² и той же v уже сотые доли ньютона и быстро обгоняет Стокс при росте v. Отсюда выбор модели.
Типичные ошибки
- Взять квадрат скорости, как в воздухе на больших v.
- Диаметр вместо радиуса (сила завысится вдвое).
- Забыть 6π и написать η r v.
- Сложить с Архимедом в одном поле F.
- Делить на r = 0.
Частые вопросы
- Какая формула силы Стокса?
- Для шара при малом числе Рейнольдса F = 6π η r v. Сила против скорости, пропорциональна первой степени v.
- Чем это отличается от квадратичного сопротивления?
- F_d = ½ C_d ρ A v² растёт как v² и содержит плотность и площадь, не вязкость. Стокс — лабораторные шарики в масле, не лыжник на 30 м/с.
- Что такое η?
- Динамическая вязкость, Па·с. Вода ~0,001, воздух ~1,8·10⁻⁵, глицерин порядка 1. Сантипуаз: 1 сП = 0,001 Па·с.
- Можно ли найти скорость по силе?
- v = F / (6π η r), если радиус и вязкость не ноль. Так измеряют вязкость по установившемуся падению шарика.
- Где сила Архимеда?
- При падении в жидкости из веса вычитают ρgV и силу Стокса. Эта страница считает только Стокса, не равновесие трёх сил.
- Связь с Пуазейлем?
- Обе формулы про вязкое ламинарное движение. Пуазейль — расход в трубе, здесь — сила на шар.
Источники
- Сивухин Д. В. Общий курс физики. Механика.
- Иродов И. Е. Основные законы механики.
- BIPM. The International System of Units (SI).