Когда падение перестаёт разгоняться
Без воздуха камень разгонялся бы как g. С воздухом сила квадратичного сопротивления растёт как v² и в какой-то момент сравнивается с весом mg. Равнодействующая исчезает, ускорение становится нулём: дальше скорость почти постоянна. Эту скорость называют установившейся, предельной или терминальной. Раздел: динамика.
До неё движение неравномерное: сопротивление ещё меньше веса. После — равномерное в идеальной модели. Реальный порыв ветра и изменение плотности с высотой картину портят; калькулятор — баланс mg и ½ C_d ρ A v² при постоянных параметрах.
v_t = √(2mg / (C_d ρ A))
v_t = √(2mg / (C_d ρ A))
Из равенства mg = ½ C_d ρ A v_t² следует корень. Обратный ход: масса или площадь по известной v_t. C_d и ρ в обратный ход этой страницы не вынесены: их удобнее гонять на странице самой силы сопротивления.
g по умолчанию стандартное. Для тетради поставьте 10. Плотность — среды, не тела. Площадь — лобовое сечение в положении падения: человек «звездой» и «стрелой» имеют разную A и разную v_t.
Не свободное падение
Кинематика a = (v − v₀)/t и путь s = v₀t + at²/2 описывают постоянное ускорение. У падения с сопротивлением a не постоянно: оно падает от g до нуля. Подставлять v_t = g t нельзя. Средняя скорость на участке — v = s/t — тоже не эта страница: там нет баланса сил.
Второй закон F = ma в момент установления даёт a = 0, потому что равнодействующая ноль: вес минус F_d. Это не значит, что сил нет — они равны и противоположны.
Почему тяжёлое падает «быстрее»
В вакууме масса сокращается, все тела падают одинаково. Здесь вес ~ m, сопротивление от массы не зависит (при той же форме). Под корнем m стоит в числителе: вчетверо тяжёлее при той же A — v_t вдвое больше. Отсюда школьное «камень быстрее пушинки»: у пушинки огромное A/m.
Сила Архимеда ρgV в воздухе мала по сравнению с весом человека и не вычтена. Для шарика в воде она существенна: эффективный вес меньше, v_t ниже. Не подставляйте плотность воды как ρ среды и одновременно ждите «падение в воздухе».
Как пользоваться
Выберите установившуюся скорость, массу или площадь. Нужны C_d, плотность среды и g. Нулевая площадь — ошибка: без сечения модель не даёт конечной v_t. Соседи: сила сопротивления при произвольной v, вес mg, плотность среды через справочник или калькулятор плотности тела, если из массы и объёма оцениваете размер, а A считаете сами.
Скорость в м/с. 200 км/ч парашютиста в свободном падении — это около 56 м/с, не «200 в формулу». C_d человека порядка единицы, A порядка 0,7 м² «стоя» — оценка, не точный паспорт. Калькулятор не подставляет антропометрию.
Горизонтальный полёт самолёта — не падение: подъёмная сила держит вес, сопротивление уравновешивает тягу. Сюда только вертикальный баланс веса и лобового сопротивления при падении. Качение со склона с трением — наклонная плоскость, воздух там по умолчанию не включён.
Пример: 2 кг и g = 10
C_d = 1, ρ = 1 кг/м³, A = 1 м². Тогда v_t = √(2 · 2 · 10 / 1) = √40 ≈ 6,32 м/с. Обратный ход: по этой скорости масса снова 2 кг, площадь снова 1 м². Если площадь 4 м², v_t вдвое меньше: √10 ≈ 3,16 м/с.
Вес 20 Н. При 6,32 м/с сила сопротивления ½ · 1 · 1 · 1 · 40 = 20 Н — сошлось. На половине этой скорости сопротивление вчетверо меньше, равнодействующая вниз ещё 15 Н, ускорение 7,5 м/с² — ещё не установилось.
Парашют: пусть A выросла с 0,5 м² до 32 м² при той же массе 80 кг, g = 10, C_d = 1, ρ = 1,2. Без купола v_t ≈ √(2·80·10 / (1·1,2·0,5)) ≈ 52 м/с. С куполом знаменатель больше в 64 раза, корень в 8 раз, v_t ≈ 6,5 м/с — уже про посадку, не про камнепад. Цифры учебные: реальный C_d купола другой.
Капля дождя мелкого радиуса часто ближе к линейному сопротивлению, не к этой формуле. Крупный град — ближе к квадратичной. Калькулятор не переключает режим по числу Рейнольдса: вы сами выбираете модель.
Типичные ошибки
- Положить v_t = g t, как без сопротивления.
- Подставить плотность тела вместо плотности воздуха.
- Забыть, что A — сечение, не объём.
- Ждать, что масса сократится, как в вакууме.
- Вычесть Архимеда «на глаз» и оставить ту же формулу без правки веса.
- Искать здесь путь падения за время t.
Частые вопросы
- Что такое установившаяся скорость падения?
- Скорость, при которой вес равен силе квадратичного сопротивления. Равнодействующая ноль, ускорения больше нет, падение равномерное в этой модели.
- Какая формула?
- v_t = √(2mg / (C_d ρ A)). Она следует из mg = ½ C_d ρ A v_t².
- Это s = gt² / 2?
- Нет. Свободное падение без сопротивления разгоняется без предела в школьной кинематике. Здесь сопротивление ограничивает скорость.
- Нужна ли сила Архимеда?
- В воздухе ею обычно пренебрегают. В воде вычитают выталкивающую силу из веса, и формула меняется. Калькулятор архимедову силу не вычитает.
- Где взять силу сопротивления при любой скорости?
- На странице квадратичного сопротивления F_d = ½ C_d ρ A v², не только в момент баланса с весом.
- Почему парашют снижает v_t?
- Растёт площадь A и часто C_d. Под корнем знаменатель больше — установившаяся скорость меньше.
Источники
- Сивухин Д. В. Общий курс физики. Механика.
- Иродов И. Е. Основные законы механики.
- BIPM. The International System of Units (SI).