Сопротивление ~ v²
Тело, которое быстро движется в воздухе или воде, толкает среду. Импульс, который уносят вихри и удар о лобовую площадь, даёт силу, растущую примерно как квадрат относительной скорости. Школьная запись этой модели: F_d = ½ C_d ρ A v². Раздел: динамика.
При нулевой скорости сила ноль: без движения нет этого сопротивления. Удвоили скорость — сила выросла вчетверо. Поэтому на малых v часто пренебрегают воздухом, а на больших он перевешивает сухое трение шин или лыж.
F_d = ½ C_d ρ A v²
F_d = ½ C_d ρ A v²
C_d — безразмерный коэффициент формы и режима обтекания. ρ — плотность среды: для воздуха у земли порядка 1,2 кг/м³, для воды около 1000 кг/м³. A — характерная площадь сечения, обычно проекция «лоб» на плоскость, перпендикулярную скорости. v — скорость относительно среды, не относительно земли, если есть ветер.
Обратный ход находит v, C_d, A или ρ. Половина в формуле обязательна: это не «C_d ρ A v² без половины», если вы не переопределили коэффициент. Калькулятор держит именно ½.
Не сила Стокса и не μN
Линейное сопротивление (Стокс) пишут F = 6π η r v для шарика при малых числах Рейнольдса. Здесь нет вязкости η и нет первой степени v. Путать модели — типичная ошибка лабораторной работы «шарик в глицерине» против задачи «лыжник на 30 м/с».
Сухое трение μN не содержит скорости. На склоне его подставляют в ускорение вдоль наклонной. Воздух там не вычитают, пока задача явно не просит. Сила тяжести mg — причина падения, не сопротивление. Равнодействующая произвольных сил — F = ma: F_d может быть одним из слагаемых, не всей F.
Откуда взять C_d и A
C_d берут из условия, справочника или оценки: сфера порядка 0,5, диск «плашмя» около 1,1, обтекаемый корпус меньше 0,1. Калькулятор коэффициент не угадывает. Площадь: для шара πr², для прямоугольного щита ширина × высота, не площадь поверхности.
Плотность воздуха меняется с высотой и температурой. Для школьной оценки хватает 1,2 или даже 1 кг/м³, если так сказано. Вода в тысячу раз плотнее: та же скорость даёт силу примерно в тысячу раз больше при том же C_d и A — поэтому грести руками тяжелее, чем махать в воздухе.
Как пользоваться
Выберите силу, скорость, C_d, площадь или плотность. Введите остальные. Скорость в м/с, не в км/ч без перевода: 72 км/ч = 20 м/с, квадрат отличается в 13 раз, если забыть. Сосед по падению: установившаяся скорость, когда F_d = mg.
Нулевая скорость даёт нулевую силу — это допустимо. Нулевая площадь при ненулевой силе — ошибка: делить на ноль нельзя. Подъёмная сила крыла и момент тангажа сюда не входят: только лобовое сопротивление этой идеализации. Ветер навстречу складывают со скоростью земли, попутный вычитают: в формуле относительная v.
Единицы площади: 20 см² это 0,002 м². Подставить «20» и оставить м² — завышение силы в десять тысяч раз. Плотность 1,2 г/см³ была бы как у пластика, не как у воздуха: для воздуха нужны кг/м³. Страница плотности переводит массу и объём тела, не атмосферу.
Пример: v = 10 м/с
C_d = 1, ρ = 1 кг/м³, A = 2 м², v = 10 м/с. Тогда F_d = 0,5 · 1 · 1 · 2 · 100 = 100 Н. Обратный ход: по 100 Н и тем же C_d, ρ, A скорость снова 10 м/с. Если скорость 20 м/с, сила 400 Н — квадрат.
Человек массой 80 кг имеет вес около 800 Н. Сопротивление 100 Н ещё не уравновешивает падение: будет разгон, пока F_d не дорастёт до веса. Это уже сюжет страницы установившейся скорости, не этой. Кинематика v = s/t не знает про воздух: средняя скорость на участке — другая постановка.
Велосипедист: A ≈ 0,4 м², C_d ≈ 0,9, воздух 1,2 кг/м³, 10 м/с. F_d ≈ 0,5 · 0,9 · 1,2 · 0,4 · 100 ≈ 22 Н. На 20 м/с уже около 86 Н. Чтобы ехать равномерно, тяга должна покрыть это плюс трение качения. Тягу как F = ma калькулятор не считает: равнодействующая — соседняя страница силы.
Капля дождя и парашют отличаются площадью и C_d, не «магией торможения». Увеличили A вчетверо — сила при той же v выросла вчетверо, а установившаяся скорость падения упала вдвое, потому что там корень. Здесь, на странице силы, корень появляется только в обратном ходе к v.
Типичные ошибки
- Забыть множитель ½.
- Подставить плотность тела вместо плотности воздуха.
- Взять F_d пропорциональной v, как у Стокса.
- Смешать с сухим трением μN.
- Оставить скорость в км/ч в формуле, где нужны м/с.
- Взять площадь поверхности шара 4πr² вместо сечения πr².
Частые вопросы
- Какая формула квадратичного сопротивления?
- F_d = ½ C_d ρ A v². Сила направлена против скорости относительно среды и растёт с квадратом этой скорости.
- Это сухое трение?
- Нет. Сухое трение скольжения F = μN считает отдельная страница. Оно не зависит от скорости в школьной модели.
- Это сила Стокса?
- Линейное сопротивление Стокса F = 6π η r v пропорционально v и вязкости, его применяют к очень медленным шарикам в жидкости. Здесь модель для заметных скоростей в воздухе и воде: ~ v².
- Можно ли найти скорость по силе?
- Да: v = √(2 F_d / (C_d ρ A)), если знаменатель не ноль. Нулевая площадь или нулевой C_d при ненулевой силе в этой модели невозможны.
- Как связана установившаяся скорость падения?
- Когда F_d уравновесит вес, падение перестаёт разгоняться. Это установившаяся скорость v_t = √(2mg / (C_d ρ A)).
- Какая плотность — тела или воздуха?
- В формулу входит плотность среды ρ, не плотность снаряда. Плотность тела считают на странице плотности ρ = m/V, сюда её не подставляют вместо воздуха.
Источники
- Сивухин Д. В. Общий курс физики. Механика.
- Иродов И. Е. Основные законы механики.
- BIPM. The International System of Units (SI).