Кольцо — круг с круглой дырой
Круговое кольцо (аннулюс) — область между двумя окружностями с общим центром. Внешний радиус R, внутренний r, R больше r. Площадь — то, что останется, если из большого круга вырезать маленький. Хаб: круг и окружность.
Шайба, дорожка стадиона в плане, сечение трубы, рамка компакт-диска — типичные кольца. Если центры смещены, это уже не концентрическое кольцо, формула π(R² − r²) неверна. Если «кольцо» из квадратов — другая фигура и другая страница.
S = π(R² − r²)
S = π (R² − r²)
S = πR² − πr². Вынесли π. Обратный ход: R = √(S/π + r²), r = √(R² − S/π). Если S больше площади внешнего круга, под корнем отрицательное число: такой внутренний радиус не существует. При r = 0 получается полный круг радиуса R.
Единицы площади — квадрат длины. Смешать R в метрах и r в сантиметрах без перевода нельзя: списки единиц переводят сами. Не умножайте π на (R − r): ширина кольца в площадь так не входит.
Разность квадратов, не (R − r)²
Тождество R² − r² = (R − r)(R + r) иногда удобно: S = π (R − r)(R + r). Это произведение ширины на сумму радиусов, всё ещё с π, не площадь прямоугольника ширины и «средней длины» без π. Средняя длина окружности 2π · (R+r)/2 = π(R+r); умножить на ширину (R−r) как раз даёт π(R−r)(R+r) — тот же ответ, если развернуть кольцо в «ленту». Ленточная оценка работает только для концентрического кольца.
Не считайте S = π(R − r)²: для R = 2, r = 1 это π вместо 3π — втрое меньше. Не берите среднее радиусов и не считайте один круг «посередине»: средний радиус 1,5 даёт π·2,25 ≈ 7,07, а верно 3π ≈ 9,42.
Не сектор и не рамка квадрата
Сектор — кусок одного круга по углу, дыры нет. Кольцо — два полных оборота, угол 360°. Кусок кольца на угол α был бы (α/360)·π(R² − r²); эта страница полного кольца, долю считайте отдельно или через два сектора разных радиусов: площадь сектора дважды и вычесть.
Квадратная рамка: внешний квадрат минус внутренний, без π. Площадь квадрата — страница квадрата. Не подставляйте сторону квадрата в R.
Как пользоваться
Выберите площадь, внешний или внутренний радиус. Введите два известных значения. Диаметры разделите на два до ввода. Если известны только ширина и внешний радиус, внутренний r = R − ширина, затем эта страница.
Соседи: площадь круга, длина окружности, сектор.
Толщина стенки трубы часто дана как R − r, а не как два радиуса. Сначала внутренний r = R − δ, затем площадь. Не умножайте длину трубы на π(R² − r²) на этой странице: получите объём металла, а поля здесь только для площади сечения. Объём — отдельный расчёт, его калькулятора в этом разделе нет. Для тонкой стенки δ ≪ R площадь сечения приближённо 2πRδ, но точный ответ всё равно π(R² − r²).
Пример: R = 2, r = 1
S = π(4 − 1) = 3π ≈ 9,42. Внешний круг 4π, дыра π, разность 3π. Обратно: площадь 3π и r = 1 дают R = 2. Площадь 3π и R = 2 дают r = 1. Если площадь 20 при R = 1, внутренний радиус не существует: 20 больше π.
Труба с внешним диаметром 20 см и внутренним 16 см: R = 0,10 м, r = 0,08 м, площадь сечения π(0,01 − 0,0064) = 0,0036π м². Не берите диаметры в формулу как радиусы: получите вчетверо большую площадь.
Беговая дорожка: внутренний радиус 36,5 м, ширина 8 м → R = 44,5 м. Площадь покрытия π(44,5² − 36,5²) = π(1980,25 − 1332,25) = 648π м². Длина внутренней бровки — другая величина, 2πr.
Прокладка фланца: внешний диаметр 80 мм, внутренний 50 мм. Радиусы 40 и 25 мм. S = π(1600 − 625) = 975π мм². Если в поля попали 80 и 50 как «радиусы», площадь станет π(6400 − 2500) = 3900π — вчетверо больше, прокладка «на глаз» не сойдётся с чертежом.
Окно-иллюминатор с круглой рамой: стекло — внутренний круг, рама — кольцо. Краска на раму считается площадью кольца, стекло — площадью малого круга. Не красьте «всё πR²»: перерасход на величину дыры. Если рама не концентрична стеклу, формула этой страницы врёт: нужен другой чертёж.
Типичные ошибки
- Считать π(R − r)² вместо π(R² − r²).
- Подставить диаметры в поля радиусов.
- Взять средний радиус и площадь одного круга.
- Сместить центры и всё равно применить эту формулу.
- Записать ответ в метрах, забыв, что площадь в м².
Частые вопросы
- Как найти площадь кольца?
- S = π(R² − r²), где R — внешний радиус, r — внутренний. Это разность площадей двух кругов, не площадь прямоугольника «развёртки».
- Можно ли внутренний радиус взять нулём?
- Да: тогда S = πR², то есть полный круг. Удобнее открыть площадь круга, если дыры нет.
- Что если внутренний радиус больше внешнего?
- Площадь вышла бы отрицательной. Так кольцо не задают. Поменяйте поля или проверьте чертёж.
- Можно найти внешний радиус по площади?
- Да: R = √(S/π + r²). Внутренний: r = √(R² − S/π), если площадь не больше площади внешнего круга.
- Ширина кольца R − r — это сторона в формуле?
- Нет. S ≠ π(R − r)² и S ≠ 2π(R − r). Ширина нужна для длины средней линии, не вместо разности квадратов.
- Где длина окружностей кольца?
- Внешняя и внутренняя длины — две разные длины окружности. Эта страница считает только площадь между ними.