Сегмент — шляпка за хордой
Сегмент круга — фигура, которую отсекает хорда: дуга плюс область между дугой и хордой. Меньший сегмент соответствует центральному углу меньше 180°, больший — дополнению до полного круга. Калькулятор считает площадь по радиусу и центральному углу. Раздел: круг и окружность.
В задачах на бочку, линзу, заполнение цистерны до хорды, «отрезанный кусок круга линейкой» почти всегда сегмент, не сектор. Если в чертёж входят два радиуса к концам дуги, это сектор; уберите треугольник — останется сегмент.
S = (r²/2)(α − sin α)
S = (r²/2)(α − sin α) (α в радианах)
α в радианах. sin α — синус того же угла, не синус половины. Площадь сектора ½ r² α, площадь равнобедренного треугольника ½ r² sin α, разность — сегмент. Обратный ход на радиус: r = √(2S / (α − sin α)). При α = 0 знаменатель ноль. Угол по площади в явном виде не ищется: не выбирайте угол как неизвестное, если известны только S и r.
Градусы переводятся до подстановки. Не вычитайте sin от градусов: sin 90° как «90» без перевода бессмыслен. Список единиц угла делает перевод сам.
Сектор минус треугольник
Нарисуйте два радиуса и хорду. «Пирог» — сектор. Треугольник в середине можно посчитать как ½ ab sin C при a = b = r и угле α, то есть ½ r² sin α. То же, что площадь по двум сторонам и углу. Вычесть из сектора — сегмент. Для 90° треугольник прямоугольный с катетами r, площадь r²/2.
Не вычитайте площадь круга целиком. Не берите Герона по трём сторонам, если две стороны — радиусы: проще sin центрального угла. Длина дуги для площади сегмента не нужна; она на странице дуги.
Полукруг и мелкий сегмент
При 180° sin π = 0, S = ½ r² · π = π r² / 2 — половина круга. При малом угле α − sin α ≈ α³/6, площадь очень мала: тонкая лунка. Не заменяйте сегмент прямоугольником «хорда × стрелка»: это грубая оценка, не эта формула.
Больший сегмент при угле 270° — почти весь круг без маленькой шляпки. Введите 270°, не 90°, если нужна большая часть. Площадь всего круга: πr²; вычесть маленький сегмент 90° вручную, если так удобнее проверить.
Как пользоваться
Выберите площадь сегмента или радиус. Введите радиус и угол либо площадь и угол. Угол — градусы или радианы. Хорду в поля не вводите: её длина здесь не участвует. Если известны хорда и радиус без угла, сначала найдите угол на странице хорды, затем вернитесь.
Два сегмента по разные стороны одной хорды в сумме дают весь круг. Если посчитали меньший, больший = πr² − меньший. Не складывайте два сегмента с одним и тем же углом: получите удвоенный меньший, а не круг, пока угол не 180°. Для 90° меньший ≈ 1,14 при r = 2, больший = 4π − (π − 2) = 3π + 2 ≈ 11,42.
Примеры: 180° и 90°
r = 2, 180°: S = 2π ≈ 6,28 — полукруг радиуса 2. r = 2, 90°: S = 2(π/2 − 1) = π − 2 ≈ 1,14. Сектор при тех же данных — π ≈ 3,14, треугольник 2, разность π − 2. Обратно: площадь 2π и угол 180° дают r = 2. Площадь 1 и угол 0° радиус не дадут.
Окно-розета, «лепесток» между хордой и дугой, объём жидкости в горизонтальной цистерне на первом шаге сводится к площади сегмента сечения. Высота жидкости связана с углом иначе; эта страница угол уже считает данным, уровень жидкости сама не ищет.
Проверка: сегмент 90° плюс прямоугольный треугольник с катетами 2 должен дать сектор π. 1,14 + 2 ≈ 3,14. Если сумма не сходится, перепутаны градусы и радианы или взята формула сектора вместо сегмента.
Бочка, лежащая на боку: свободная поверхность — хорда, зеркало жидкости — сегмент сечения. Чтобы перейти к объёму, площадь сегмента умножают на длину образующей, если торцы плоские и уровень вдоль оси постоянен. Эта страница даёт только площадь сечения, не литры. Угол по высоте жидкости h: cos(α/2) = (r − h)/r для малого сегмента; угол сначала найдите, затем площадь.
Лунка на чертеже детали: фреза прошла по дуге, остаток материала — сегмент. При r = 10 мм и угле 60° площадь маленькая: (100/2)(π/3 − √3/2) ≈ 9,06 мм². Если взять площадь сектора 52 мм², заготовка «похудеет» на лишний треугольник. Для длины реза нужна дуга, не площадь.
Типичные ошибки
- Считать сегмент как сектор ½ r² α.
- Взять sin(α/2) из формулы хорды вместо sin α.
- Подставить градусы в (α − sin α) без перевода.
- Ждать угол по площади и радиусу: такого хода на странице нет.
- Спутать меньший и больший сегмент при угле и 360° − угол.
Частые вопросы
- Что такое сегмент круга?
- Часть круга между хордой и дугой. Не путать с сектором: у сектора боковые стороны — радиусы, не хорда.
- Какая формула площади?
- S = (r²/2)(α − sin α), угол α в радианах. Это площадь сектора минус площадь треугольника из двух радиусов и хорды.
- Чем сегмент отличается от сектора?
- Сектор — «пирог» с двумя радиусами. Сегмент меньше сектора на треугольник. Площадь сектора: S = ½ r² α.
- Почему нет обратного хода на угол?
- Уравнение α − sin α = const не решается школьными функциями в явном виде. Задайте угол и радиус или площадь и угол; угол по площади эта страница не ищет.
- Полукруг — это сегмент?
- Да, при α = 180° хорда — диаметр, S = π r² / 2. Удобно сверить с половиной площади круга.
- Нужна ли длина хорды?
- Для этой формулы нет, достаточно r и α. Длину хорды, если она нужна отдельно, считает страница хорды.