Хорда — прямая внутри круга
Хорда соединяет две точки окружности отрезком. Она лежит внутри круга, кроме диаметра, который проходит через центр. Длину задают радиусом и центральным углом между радиусами к концам хорды. Раздел: круг и окружность.
Это не касательная: касательная имеет одну общую точку с окружностью. Это не секущая как бесконечная прямая: нужна именно длина отрезка между точками. Если в задаче даны координаты двух точек на окружности, можно посчитать расстояние Пифагором, не открывая эту страницу; если даны r и угол — эта формула короче.
l = 2r sin(α/2)
l = 2 r sin(α/2)
Равнобедренный треугольник из двух радиусов и хорды разрежьте высотой к хорде: высота идёт в середину, половина хорды r sin(α/2), вся хорда вдвое больше. Обратный ход: r = l / (2 sin(α/2)); угол α = 2 arcsin(l/(2r)). Арксинус требует |l| ≤ 2r, иначе хорда не помещается в круг.
Угол по умолчанию в градусах: для 90° половина 45°, sin 45° = √2/2, при r = 1 длина √2. Не берите sin α вместо sin(α/2): для 90° получите 2r вместо √2 r — почти в полтора раза больше.
Диаметр — самая длинная хорда
При α = 180° хорда проходит через центр и равна 2r. Любая другая хорда короче. При малых углах хорда почти совпадает с дугой: для 10° разница доли процента, для четверти круга уже заметна. Стрелка ( sagittа ) — расстояние от середины хорды до дуги — эта страница не считает; для площади «шляпки» откройте сегмент.
Две равные хорды равноудалены от центра. Обратное тоже верно. Калькулятор расстояние до центра не выводит, только l по r и α. Если известны хорда и расстояние от центра h, то r² = h² + (l/2)² — снова Пифагор, не эта формула.
Не дуга и не касательная
Дуга с тем же углом длиннее хорды. Касательная из внешней точки — другой чертёж: длина касательной t = √(d² − r²). Не кладите d в поле r и не ждите хорду. Площадь круга к длине хорды не привязана напрямую: πr² после того, как радиус уже известен.
Обратный угол даёт меньшую дугу. Хорда 90° и хорда 270° одной длины: калькулятор по l и r вернёт 90°, не 270°. Если в задаче тупой центральный угол больше 180°, введите угол напрямую в поле α, не ищите его из длины хорды.
Как пользоваться
Выберите длину хорды, радиус или угол. Введите две известные величины. Для угла больше 180° считайте длину прямым ходом, обратный угол ограничьте меньшей дугой. Диаметр: угол 180° или сразу 2r без этой страницы.
Соседи: длина дуги, сектор, сегмент.
Если известны только координаты центра и двух точек на окружности, проверьте, что обе точки на одном r, иначе это не хорда этой окружности. Расстояние между точками и есть l, угол тогда ищется обратным ходом. Координатный путь не заменяет проверку: точки вне окружности дадут l, которое не обязано удовлетворять l ≤ 2r для задуманного круга.
Примеры: 90°, 60°, 180°
r = 1, 90°: l = √2 ≈ 1,414. r = 2, 60°: половина угла 30°, sin 30° = 1/2, l = 4 · 1/2 = 2 — хорда равна радиусу, равносторонний треугольник из двух радиусов и хорды. r = 1, 180°: l = 2, диаметр.
Обратно: хорда √2, радиус 1 → угол 90°. Хорда 3 при радиусе 1 невозможна: 3 больше диаметра 2, арксинус выйдет за область. Проверка циркулем: раствор равен радиусу, хорда раствора 60° совпадает с раствором — классическое построение шестиугольника, сторона равна r.
Мост или арка: пролёт по хорде, путь по дуге длиннее. Если известны пролёт и радиус окружности арки, эта страница даёт угол, дуга — соседняя. Не берите пролёт за длину дуги в смете материалов по ободу.
Вписанный угол, опирающийся на ту же хорду, вдвое меньше центрального. Калькулятор вписанный угол не ищет: если в задаче дан вписанный 20°, центральный 40°, в поле α кладите 40°, не 20°. Иначе длина выйдет почти вдвое меньше нужной.
Струна на круглой раме: длина струны — хорда, длина обода между колками — дуга. Для настройки по длине струны нужна эта страница. Для длины канта по дуге — соседняя. При угле 90° и r = 40 см хорда 40√2 ≈ 56,6 см, дуга 20π ≈ 62,8 см: разница около 6 см, уже заметна в раскрое.
Типичные ошибки
- Взять sin α вместо sin(α/2).
- Подставить градусы в синус, забыв, что перевод делает список единиц.
- Спутать хорду с дугой и ждать rα.
- Искать угол больше 180° обратным ходом из длины.
- Задать хорду длиннее диаметра.
Частые вопросы
- Как найти длину хорды?
- l = 2 r sin(α/2), где α — центральный угол. Угол в формуле после перевода в радианы. В градусах sin берётся от половины угла.
- Чем хорда отличается от дуги?
- Хорда — отрезок, дуга — кривая с теми же концами. Дуга длиннее, кроме вырожденного нуля. Длину дуги считает страница дуги.
- Когда хорда равна диаметру?
- При центральном угле 180°: sin(90°) = 1, l = 2r. Это наибольшая хорда.
- Можно найти угол по хорде?
- Да: α = 2 arcsin(l / (2r)). Получится угол меньшей дуги, не большей. Если хорда длиннее диаметра, угла не существует.
- Нужна ли теорема Пифагора?
- Можно: опустите перпендикуляр из центра на хорду, получите два прямоугольных треугольника. Это тот же sin(α/2). Прямой расчёт катетов — теорема Пифагора.
- Где площадь «шляпки» за хордой?
- Это сегмент: площадь сегмента круга. Сектор с тем же углом — площадь сектора.