Касательная из внешней точки
Касательная к окружности имеет с ней ровно одну общую точку. Из точки вне круга можно провести две касательные равной длины. Калькулятор находит длину отрезка от внешней точки до точки касания. Нужны расстояние d от точки до центра и радиус r, причём d не меньше r. Хаб: круг и окружность.
Это не длина дуги между точками касания и не хорда, соединяющая точки касания. Степень точки относительно окружности как раз t² = d² − r²: квадрат касательной равен степени. Секущая из той же точки дала бы произведение отрезков, равное t²; секущую эта страница не считает.
t = √(d² − r²)
t = √(d² − r²)
Обратный ход: d = √(t² + r²), r = √(d² − t²). Если d < r, касательной нет. Если d = r, t = 0: «касательная» выродилась в точку на окружности. Не вычитайте радиусы: t ≠ d − r. Для d = 5, r = 3 верно 4, а не 2.
Единицы длины согласуйте. Не подставляйте диаметр вместо радиуса: тогда «катет» вдвое больше, треугольник не тот. Площадь круга после нахождения r — πr², к длине касательной не привязана.
Радиус перпендикулярен касательной
Главное свойство: радиус в точку касания ⊥ касательной. Отсюда прямоугольный треугольник. Угол между касательной и хордой, проведённой из точки касания, равен углу в вписанном треугольнике — это уже другая теорема, не длина t. Угол между двумя касательными: два равных прямоугольных треугольника, cos (φ/2) = r/d; калькулятор φ не выводит.
Построение: из внешней точки провести окружность, найти касание циркулем — школьный чертёж. Длина после построения измеряется линейкой или считается этой формулой, если d и r известны точнее, чем линейка.
Не хорда и не секущая
Хорда лежит внутри круга. Касательная — снаружи, кроме точки касания. Секущая пересекает окружность дважды; отрезки секущей связаны со степенью точки, но поля t, d, r — не длина секущей. Дуга между точками касания двух касательных — длина дуги после того, как найден центральный угол; эта страница угла не считает.
Полная длина окружности 2πr — путь по ободу, не по касательной. Не ожидайте 2π в ответе t.
Как пользоваться
Выберите длину касательной, расстояние до центра или радиус. Введите две известные длины. Точка должна быть вне круга или на границе. Если известны координаты центра и точки, сначала найдите d как расстояние, затем откройте эту страницу.
Соседи: Пифагор, хорда, площадь круга.
Хорда точек касания двух касательных из одной внешней точки перпендикулярна линии центров (то есть отрезку d) и отсекает сегмент. Длина этой хорды 2 r t / d, не t. Не кладите её в поле t. Если нужна именно хорда точек касания, сначала получите t, затем посчитайте отдельно или откройте страницу хорды, когда будет известен центральный угол 2 arccos(r/d).
Пример: 3, 4, 5
d = 5, r = 3 → t = 4. Классический прямоугольный треугольник. Обратно: t = 4, r = 3 → d = 5; t = 4, d = 5 → r = 3. Если d = 3 и r = 3, длина 0. Если d = 3 и r = 5, точка внутри, корня нет.
Наблюдатель на расстоянии 13 м от центра круглого фонтана радиуса 5 м: длина «взгляда по касательной» до кромки √(169 − 25) = 12 м. Это не ширина фонтана и не дуга кромки. Если отойти на 5 м от края, d = 10 при r = 5, t = √75 ≈ 8,66 м, не 5.
Две касательные из одной точки образуют ромб с двумя радиусами, только если соединить точки касания и центр: на самом деле два прямоугольных треугольника, сложенных по d. Четырёхугольник из центра, двух точек касания и внешней точки имеет два прямых угла. Площадь этого четырёхугольника r t, не π.
Столб и круглая клумба: стоя в 10 м от центра клумбы радиуса 6 м, «видимая» касательная к кромке 8 м. Это не радиус клумбы и не длина дуги, которую вы охватываете взглядом. Угол между двумя касательными здесь ≈ 2 arccos(6/10), его страница не печатает: только 8 м длины.
Ремень на шкиве без проскальзывания по дуге обхвата — другая задача: длина прямого участка ремня как раз касательная между двумя окружностями, и формула сложнее, если шкивы разного радиуса. Здесь один круг и одна внешняя точка. Не подставляйте межцентровое расстояние двух шкивов как d, забыв второй радиус.
Типичные ошибки
- Взять t = d − r.
- Подставить диаметр вместо радиуса.
- Искать касательную из точки внутри круга.
- Спутать с хордой и формулой 2r sin(α/2).
- Ждать в ответе длину окружности или площадь круга.
Частые вопросы
- Как найти длину касательной к окружности?
- Из внешней точки t = √(d² − r²), где d — расстояние от точки до центра, r — радиус. Точка касания, центр и внешняя точка образуют прямоугольный треугольник.
- Почему под корнем d² − r²?
- Радиус к точке касания перпендикулярен касательной. Катеты r и t, гипотенуза d. Это теорема Пифагора.
- Что если точка внутри круга?
- Касательной из внутренней точки нет. Если d меньше r, под корнем отрицательное число. Если d = r, точка на окружности, длина 0.
- Две касательные из одной точки равны?
- Да: обе длины √(d² − r²). Калькулятор считает одну. Угол между касательными эта страница не ищет.
- Это теорема Пифагора?
- Да, частный случай. Общий прямоугольный треугольник — теорема Пифагора. Здесь катет заранее радиус, гипотенуза — до центра.
- Чем отличается от хорды?
- Хорда соединяет две точки на окружности внутри круга: длина хорды. Касательная касается в одной точке и идёт к внешней точке.