Дуга — кусок окружности
Дуга — часть окружности между двумя точками. Её длина измеряется вдоль линии, как путь по ободу, а не по хорде. Задают дугу радиусом r и центральным углом α: угол при центре между двумя радиусами к концам дуги. Страница входит в раздел круга.
Полный оборот даёт всю окружность. Четверть оборота — четверть обода. Это не площадь и не прямолинейный отрезок. Если в задаче просят «длину дуги AB», почти всегда нужна эта формула, а не Пифагор по координатам концов.
L = rα
L = r α (α в радианах)
Угол α в формуле — в радианах. Определение радиана как раз такое: длина дуги, делённая на радиус. Поэтому L = rα — не «ещё одна школьная зубрёжка», а определение. Для r = 1 дуга численно равна углу в радианах. Обратный ход: r = L / α, α = L / r. Нулевой угол даёт нулевую длину и не подходит как делитель.
Единицы длины любые, лишь бы радиус и ответ в одной системе после перевода. Угол не в метрах: его переводят градусы ↔ радианы. Не умножайте градусы на радиус без перевода: 90 · 2 = 180 — это не длина дуги в метрах.
Градусы и доля от 2πr
В учебниках часто L = 2πr · α/360. Это та же формула: α° / 360 — доля полного оборота, 2πr — полная длина. 90° даёт четверть окружности, 60° — шестую часть. Выберите градусы в списке, не переводите вручную, если не хотите сверять.
Радиан удобнее в физике и в анализе: ωt, длина пути точки на ободе. Геометрическая задача «дуга 40°» спокойно живёт в градусах. Смешивать 40 и π/2 в одном поле нельзя: укажите единицу угла.
Не хорда и не сектор
Хорда стягивает дугу прямой. При малом угле они почти совпадают, при 180° хорда — диаметр, дуга — полуокружность πr, и разница уже большая. Не подставляйте длину хорды в поле L. Хорду считает соседняя страница.
Сектор — площадь, единица м². Дуга — длина, единица м. Один и тот же угол и радиус дают и дугу, и сектор, но формулы разные: rα и ½ r² α. Сегмент — ещё третья величина: площадь «шляпки» за хордой. Три страницы, три ответа, один чертёж.
Как пользоваться
Выберите длину дуги, радиус или угол. Введите две известные величины. Угол — градусы или радианы. Диаметр в поле радиуса не кладите: разделите на два. Если известна полная окружность и доля в процентах, сначала найдите C, затем умножьте долю вручную либо переведите долю в угол.
Соседи: длина окружности, площадь сектора, хорда. Хаб: круг и окружность.
Угол больше 360° на этой странице допустим как «несколько оборотов по ободу»: 720° при r = 1 даёт 4π, два полных круга пути. В школьной геометрии так почти не задают, в кинематике точки на ободе — да. Отрицательный угол не вводите: длина пути положительна, направление задайте знаком сами вне калькулятора.
Пример: r = 2 и 90°
α = π/2, L = 2 · π/2 = π ≈ 3,14 м. Та же четверть обода, что у окружности радиуса 2 длиной 4π: четвёртая часть как раз π. Если известны L = π и r = 2, угол 90°. Если известны L = 2 м и α = 2 рад, радиус 1 м.
Земная параллель — тоже дуга окружности, но радиус параллели меньше радиуса Земли. Не берите радиус планеты, если в задаче широта: радиус параллели r = R cos φ. Эта страница такого косинуса не считает, только L = rα при уже известном r.
Школьный циркуль: раствор 5 см, угол сектора 72°. Длина дуги 5 · (72π/180) = 2π см — как раз 1/5 полной окружности 10π см. Проверка: 72/360 = 1/5. Если циркуль открыли на диаметр 5 см, радиус 2,5 см, и длина будет вдвое меньше — типичная путаница r и d.
Спидометр и путь по дуге поворота: если известен радиус поворота и угол в радианах, путь автомобиля по дуге как раз L = rα. Это не тормозной путь по прямой и не хорда между началом и концом поворота. Угол 1 рад при радиусе 50 м даёт 50 м по дуге. Час переводить не нужно: угол без времени. Если дан угол в градусах 57,3° ≈ 1 рад, та же дуга.
Разметка клумбы: дуга бордюра 120° при радиусе 3 м. L = 3 · (2π/3) = 2π ≈ 6,28 м ленты. Не заказывайте 3 · 120 = 360 м. Соседняя хорда между концами бордюра короче: 3√3 ≈ 5,20 м — если считать материал по прямой, ленты не хватит.
Типичные ошибки
- Умножить градусы на радиус без перевода в радианы.
- Взять диаметр вместо радиуса.
- Спутать дугу с хордой и применить Пифагор к концам.
- Считать площадь сектора и записать её в метрах.
- Для полного круга открыть эту страницу вместо длины окружности — можно, если угол 360°, но удобнее соседняя страница.
Частые вопросы
- Как найти длину дуги?
- L = rα при центральном угле α в радианах. В градусах L = 2πr · α/360. Это длина по окружности, не по прямой.
- Можно вводить угол в градусах?
- Да. Выберите градусы в списке. Перевод в радианы выполняется до подстановки в L = rα.
- Чем дуга отличается от хорды?
- Хорда — прямая между теми же концами дуги, она короче. Длину хорды считает страница хорды: l = 2r sin(α/2).
- Это длина окружности?
- Полная окружность — дуга 360° или 2π радиан: L = 2πr. Её считает длина окружности. Здесь угол любой положительный.
- Можно найти радиус по длине дуги?
- Да, если известен угол: r = L / α в радианах. Обратный ход на угол: α = L / r.
- Где площадь сектора с той же дугой?
- Площадь «кусочка пирога» — площадь сектора. Сегмент между хордой и дугой — площадь сегмента.