Контур сектора
Сектор — «кусочек пирога»: два радиуса и дуга между их концами. Периметр — длина этого контура, если обойти границу сектора. В него входят оба радиуса и дуга, хорда не входит. Хаб: круг и окружность.
Задачи на «сколько бордюра вокруг сектора клумбы», «длина шва по контуру выреза», «рамка сектора на чертеже» — про периметр. Задачи на «сколько краски на сектор» — про площадь, другая страница. Не записывайте периметр в квадратных метрах.
P = 2r + rα
P = 2r + rα (α в радианах)
α в радианах. Два радиуса 2r плюс дуга rα. Вынесли r: P = r(2 + α). Обратный ход: r = P / (2 + α), α = P/r − 2. Если P меньше 2r, угол отрицательный — такого сектора нет. Для r = 1 и 90°: α = π/2, P = 2 + π/2 ≈ 3,57. Полная окружность 2π ≈ 6,28, периметр четверть-сектора меньше, потому что вместо трёх четвертей обода стоят два радиуса.
В градусах школьная запись P = 2r + 2πr · α/360. Это то же самое. Не складывайте 2r с градусами: 2 + 90 при r = 1 — не периметр.
Не площадь и не одна дуга
Площадь сектора ½ r² α растёт с квадратом радиуса. Периметр растёт линейно. Удвоить r — удвоить P, учетверить S. Дуга без радиусов — L = rα: для тех же 1 и 90° дуга π/2 ≈ 1,57, периметр на 2 больше. Сегмент закрыт хордой, не двумя радиусами: площадь сегмента, периметр сегмента был бы хорда + дуга, не эта страница.
Длина окружности 2πr — периметр полного круга как области? Нет: это длина границы-окружности, без радиусов. Сектор полного оборота формально имел бы P = 2r + 2πr, то есть окружность плюс два совпавших радиуса туда-обратно. В задачах полный круг так не считают: берут 2πr.
Полный круг и вырожденный угол
Малый угол: дуга короткая, периметр чуть больше 2r. Угол 0° вырожден: два радиуса в одну линию туда и обратно, P = 2r, но поле угла требует положительное значение. Угол 360°: P = 2r + 2πr. Не используйте эту страницу вместо длины окружности для полного круга без «разреза».
Периметр сектора не путайте с периметром треугольника из двух радиусов и хорды: там вместо дуги хорда, и сумма 2r + l, где l = 2r sin(α/2), всегда меньше P сектора, потому что хорда короче дуги.
Как пользоваться
Выберите периметр, радиус или угол. Введите две известные величины. Угол — градусы или радианы. Диаметр в поле радиуса не кладите. Если известны только дуга и радиус, периметр = дуга + 2r; дугу можно взять со страницы длины дуги.
Соседи: площадь сектора, длина дуги, длина окружности.
Если известен периметр и угол, радиус находится сразу: для P = 10 и 180° α = π, r = 10/(2+π) ≈ 1,94. Не делите 10 на 2 «потому что два радиуса»: дуга ещё не учтена. Если известны периметр и радиус, угол α = P/r − 2 в радианах; калькулятор покажет градусы, если выбран список градусов. Проверка: подставьте найденные r и α обратно в 2r + rα — должно сойтись с исходным P.
Примеры: 90° и 180°
r = 1, 90°: P = 2 + π/2 ≈ 3,5708. r = 2, 180°: дуга π·2 = 2π, два радиуса 4, P = 4 + 2π ≈ 10,283. Обратно: периметр 2+π/2 и r = 1 дают 90°. Периметр 1 при r = 1 угла не даст: 1 < 2.
Клумба-сектор радиуса 3 м и угла 60°: P = 3(2 + π/3) = 6 + π ≈ 9,14 м бордюра. Если посчитать только дугу π, не хватит двух радиусов по 3 м — ещё 6 м. Краска на ту же клумбу — площадь сектора ½·9·(π/3) = 1,5π м², не 9,14.
Выкройка: сектор ткани, кромка по контуру. Припуск шва считают от P, не от площади. Если выкройку закрыть хордой, это уже не сектор, а сегмент плюс треугольник — другой периметр.
Веер или циркуль-измеритель: два плеча — радиусы, внешняя кромка — дуга. Длина ленты по кромке веера плюс два ребра — периметр сектора. Не заказывайте ленту длиной 2πr, если угол 90°: хватит 2r + πr/2. Для r = 20 см это 40 + 10π ≈ 71,4 см, а полный круг 125,7 см — переплата почти вдвое.
Разметка паркета «кусок пирога»: резать нужно по двум радиусам и дуге. Сумма трёх резов — P. Станок, который режет только прямые, дугу приблизит хордами; тогда фактический периметр ближе к 2r + хорда и будет короче расчёта этой страницы. Для точной дуги оставьте формулу 2r + rα.
Типичные ошибки
- Считать периметр как площадь ½ r² α.
- Забыть два радиуса и взять одну дугу.
- Сложить 2r с углом в градусах без перевода.
- Включить хорду вместо дуги.
- Задать периметр короче 2r и ждать угол.
Частые вопросы
- Как найти периметр сектора круга?
- P = 2r + L, где L — длина дуги. При угле в радианах L = rα, поэтому P = r(2 + α).
- Это площадь сектора?
- Нет. Площадь S = ½ r² α на странице площади сектора. Периметр — длина контура в метрах, не м².
- Входит ли хорда в периметр?
- Нет. Периметр сектора — два радиуса и дуга. Если вместо дуги закрыть хордой, получится сегмент или равнобедренный треугольник, другой контур.
- Можно вводить угол в градусах?
- Да. Выберите градусы. Перевод в радианы выполняется до подстановки в P = r(2 + α).
- Как найти только длину дуги?
- L = rα без двух радиусов. Периметр сектора всегда длиннее дуги на 2r.
- Что если периметр меньше 2r?
- Угол вышел бы отрицательным. Так сектор не задают: два радиуса уже дают 2r, дуга добавляет положительную длину.