Вершины на окружности
Квадрат вписан в окружность, если все четыре вершины лежат на окружности. Центр квадрата совпадает с центром круга. Диагонали квадрата — диаметры. Страница связывает сторону a и радиус R. Раздел: круг и окружность.
Это не задача «вписать окружность в квадрат»: там окружность касается сторон, радиус вдвое меньше стороны. Здесь наоборот: круг снаружи, квадрат внутри, вершины на ободе. Если в задачнике «квадрат в круге» — эта страница. Если «круг в квадрате» — a = 2R, считайте вручную, отдельного калькулятора нет.
a = R√2
a = R√2
Диагональ 2R. В квадрате d = a√2, значит a√2 = 2R, a = 2R/√2 = R√2. Обратно R = a/√2 = a√2/2. Для R = 1 сторона √2 ≈ 1,414. Для стороны 2 радиус √2 ≈ 1,414. Не берите a = 2R: это описанный квадрат, он больше.
Площадь вписанного квадрата a² = 2R². Площадь круга πR² ≈ 3,14 R², отношение 2/π ≈ 0,637: квадрат занимает около 64% круга. Периметр квадрата 4R√2, длина окружности 2πR: периметр квадрата меньше обода, как и должно быть у вписанной ломаной.
Диагональ — диаметр
Проведите обе диагонали: они пересекаются в центре, равны, перпендикулярны, делятся пополам. Каждая — диаметр. Угол при центре между соседними вершинами 90°. Сторона как хорда 90°: l = 2R sin(45°) = R√2. Пифагор по двум радиусам к соседним вершинам: катеты не радиусы в прямоугольном треугольнике из половины диагонали — проще взять равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой 2R и катетами a, a.
Описанная окружность треугольника — другая страница: R = abc / 4S. Для квадрата формула проще, не тащите три стороны треугольника.
Не квадрат вокруг круга
Квадрат, описанный около круга: стороны касаются окружности, a = 2R, площадь 4R², больше круга. Вписанный: a = R√2, площадь 2R², меньше круга. Перепутать имена «вписанный/описанный» легко: смотрите, что на окружности — вершины или точки касания сторон. Вершины на окружности — эта страница.
Площадь, периметр и диагональ квадрата без круга — калькулятор квадрата. Сюда заходите, когда дан радиус круга или нужно найти R по стороне вписанного квадрата. Ромб, который не квадрат, в окружность не вписывается: у неквадратного ромба описанной окружности нет.
Как пользоваться
Выберите сторону или радиус. Введите одно известное значение. Диаметр разделите на два, прежде чем класть в R. Площадь квадрата и круга считайте на соседних страницах после того, как a или R уже есть.
Соседи: квадрат, площадь круга, длина окружности, Пифагор.
Примеры: R = 1 и R = 2
R = 1 → a = √2. Диагональ 2, проверка √(a²+a²) = √4 = 2. R = 2 → a = 2√2 ≈ 2,828. Обратно сторона 2 → R = √2. Круг радиуса 1 имеет площадь π, квадрат внутри площадь 2: 2 < π, квадрат помещается.
Столешница: круглая крышка радиуса 40 см, вписать квадратную вставку. Сторона 40√2 ≈ 56,6 см. Если вырезать квадрат 80×80 см, он описан вокруг круга и вылезет за обод. Рамка картины: круглое паспарту, квадрат фото внутри по вершинам на окружности выреза — снова a = R√2.
Четыре точки на окружности через 90° — всегда квадрат, если брать соседние хорды. Если взять неравный шаг углов, получится прямоугольник или вписанный четырёхугольник общего вида, не эта формула. Для произвольной хорды откройте длину хорды, не сторону квадрата.
Монета на столе: если обвести окружность и вписать квадрат по четырём точкам сторон света, сторона будет R√2, не диаметр. Диаметр — диагональ этого квадрата. Детская ошибка «сторона равна диаметру» даёт квадрат, описанный вокруг круга, и углы вылезут за обод. Проверка линейкой: диагональ вписанного квадрата должна совпасть с диаметром монеты.
Чертёж отверстия: круглое отверстие, квадратная шайба внутри «на диагональ». Диагональ шайбы = 2R минус зазор. Если зазор ноль, a = R√2 ровно. С зазором δ по диаметру берите R_эфф = R − δ/2, затем ту же формулу. Эта страница зазор не вычитает сама.
Типичные ошибки
- Взять a = 2R, как для квадрата вокруг круга.
- Взять a = R, как будто сторона равна радиусу.
- Подставить диаметр в поле R без деления на два: сторона выйдет вдвое больше.
- Считать площадь круга вместо площади квадрата или наоборот.
- Применить формулу к ромбу, который не квадрат.
Частые вопросы
- Как найти сторону квадрата, вписанного в окружность?
- Диагональ квадрата равна диаметру 2R, поэтому a = R√2. Обратно R = a/√2.
- Чем это отличается от квадрата, описанного вокруг круга?
- Вписанный квадрат: вершины на окружности, a = R√2. Описанный вокруг круга: стороны касаются окружности, a = 2R. Это другая задача, её здесь нет.
- Как связаны сторона и диагональ квадрата?
- d = a√2 на странице квадрата. Здесь диагональ заранее равна 2R, поэтому a = R√2 — тот же Пифагор.
- Можно найти площадь квадрата?
- Сначала сторону a = R√2, затем S = a² = 2R² на странице квадрата. Площадь круга πR² больше: πR² против 2R².
- Это хорда?
- Каждая сторона — хорда с центральным углом 90°. Формула хорды 2R sin(45°) = R√2 совпадает. Общая хорда: длина хорды.