Полная поверхность конуса
Полная поверхность прямого кругового конуса: боковой сектор плюс круг основания. S = π r (l + r). Хаб: стереометрия.
Тест: r = 3, l = 5 → S = 24π. Это конус 3-4-5: высота 4 по Пифагору.
S = π r (l + r)
S = π r (l + r)
Развёртка боковой — сектор круга радиуса l и дуги 2π r. Площадь сектора π r l. Плюс основание π r².
Обратный ход: l = S/(π r) − r. Если вышло l ≤ r, высоты нет: образующая короче радиуса невозможна для конуса в пространстве.
Не объём и не одна боковая πrl
Объём π r² h / 3 не содержит l явно. Сфера 4π r² — другая оболочка. Цилиндр 2πrh.
Как пользоваться
Выберите искомую величину, введите остальные. Длины и площади согласуйте по единицам. Раздел: стереометрия.
Примеры
Прямая. 3 и 5 → 24π.
Образующая. S = 24π, r = 3 → l = 5.
Радиус. S = 24π, l = 5 → 3.
Запрет. r = 0.
Ещё задачи
Колпак r = 10 см, l = 26 см: S = π·0,1·0,36 ≈ 0,113 м² жести с дном. Без дна π·0,1·0,26 ≈ 0,082 м². Смотрите, есть ли «пол» у колпака.
Воронка без круга сверху: только боковая π r l. Калькулятор полной завысит на π r².
Связка 3-4-5: r=3, h=4, l=5, объём π·9·4/3 = 12π, поверхность 24π. Числа удобные для проверки двух страниц.
Не подставляйте h вместо l. Если h=4, r=3, l не 4. Сначала Пифагор.
Развёртка: угол сектора θ = 2π r / l радиан. Для r=3 l=5 угол 6π/5. Площадь сектора всё равно π r l, не путать с площадью круга радиуса l.
Обратный ход: нужно 1 м² полного конуса, r=0,2 → l = 1/(0,2π) − 0,2 ≈ 1,39 м. Высота √(l²−r²)≈1,38 м, почти образующая — острый колпак.
Усечённый конус (абажур) — не эта формула: два радиуса и две образующие. Объём усечённого — соседняя страница, поверхность усечённого здесь нет.
Сравнение с цилиндром той же r и h=4: боковая цилиндра 2π·3·4=24π, совпало с полной поверхностью этого конуса 3-4-5 численно, случайность размерности не путать: цилиндр без крышек vs конус с дном.
Бумага на мороженое: боковая, нахлёст 5 мм по дуге. Геометрия π r l без нахлёста.
Единицы: r и l в одних длинах. r=3 см, l=5 м — катастрофа. Оба в метрах или оба в см: 3 и 5 см → 24π см².
Двойной конус (песочные часы) без перемычки: две полные поверхности минус два круга стыка, если склеены основаниями — уже 2π r l, без 2π r².
Школа: «нарисуй сектор и кружок». Площади сложить. Не умножайте π r l ещё на r.
Конус в шаре и прочие вписывания l считают из чертежа, не «как радиус шара». Подставляйте только l образующей конуса.
Проверка: боковая π·3·5=15π, дно 9π, сумма 24π. Если получили 15π и назвали полной — забыли дно.
Школа и развёртка
Развёртку конуса клеят из сектора и круга. Угол сектора в градусах 360° · r / l. Для 3 и 5 это 216°. Площадь сектора при этом всё равно π r l, формула угла нужна крою, не калькулятору поверхности.
Лабораторная воронка часто без «крышки»: жидкость льют в открытый круг. Красить воронку снаружи — боковая плюс иногда кольцо сверху. Полная S = π r (l+r) включает дно, которого у воронки нет. Вычтите π r².
Связка Пифагора обязательна, если в условии высота. Написали l = h — типичный ноль баллов. Нарисовали прямоугольный треугольник r, h, l. Только после этого поверхность.
Сравнение с цилиндром: развёртка цилиндра — прямоугольник, конуса — сектор. Не считайте «боковую конуса как 2π r l / 2 на глаз». Есть точная π r l.
Единицы: после перевода в метры S выходит в м². Для выкройки в см² умножьте на 10 000. Не умножайте r в см на l в м.
Проверка 3-4-5: боковая 15π, дно 9π, полная 24π. Если в тетради 12π, поделили как объём. Объём этого конуса 12π — соседняя страница, кубометры.
Жестяной колпак на трубу: r по наружному радиусу трубы плюс напуск. l снимите с образующей, не с высоты колпака над кровлей. Напуск круга на трубу — уже не полный круг основания, вычтите отверстие π r_трубы² вручную.
Два одинаковых конуса, склеенных основаниями: внешняя поверхность 2π r l, без 2π r². Калькулятор полной на каждый конус завысит, если склеить и считать «два S».
Выкройка из ватмана: сектор плюс круг, припуск 8 мм на клей по радиусам сектора. Геометрическая S припусков не знает. Сначала чистые π r (l+r), потом крой.
Конус на шаре: образующая не радиус шара. Снимите l с треугольника осевого сечения. Подстановка «l = R_шара» почти всегда ложь.
Итог: полная поверхность — сектор плюс круг, l с Пифагора, не высота.
Типичные ошибки
- Подставить высоту вместо образующей.
- Забыть круг основания.
- Взять диаметр как радиус.
- Считать объём поверхностью.
- Смешать см и м.
Соседи: объём конуса, Пифагор, круг, боковая цилиндра.
Частые вопросы
- Какая формула полной поверхности конуса?
- S = π r l + π r² = π r (l + r). l — образующая, не высота.
- Что такое образующая?
- Наклонная от вершины до окружности основания. Связь с высотой: l² = r² + h², страница Пифагора.
- Боковая без дна?
- π r l. Вычтите круг π r² из полного S или не добавляйте его. Эта страница по умолчанию полная.
- Объём?
- V = π r² h / 3 — нужна высота h, не l.
- Цилиндр?
- Боковая цилиндра 2π r h — прямоугольник, не сектор.
- Радиус 0?
- Запрещён.