Прямой круговой конус
Прямой круговой конус: основание круг, вершина над центром. V = π r² h / 3. Хаб: стереометрия.
Тест: r = 1, h = 3 → π. Цилиндр с h = 1 и r = 1 тоже π — разные тела.
V = ⅓ π r² h
V = (1/3) π r² h
h = 3V / (π r²). Куча песка «как конус»: измерьте высоту по отвесу, не по склону.
Не цилиндр и не пирамида Ah/3 с готовым кругом
Пирамида A h / 3 не содержит π, пока вы сами не подставите площадь круга. Шар 4/3 π r³ без h.
Боковая конуса π r l на этой странице не считается (отдельная запланированная постановка). Не подставляйте образующую в формулу объёма вместо h.
Как пользоваться
Выберите искомую величину, введите остальные. Длины согласуйте: см с см, м с м, либо переключайте единицы. Раздел: стереометрия.
Примеры
Прямая. r = 1, h = 3 → π.
Радиус. V = π, h = 3 → 1.
Высота. V = π, r = 1 → 3.
Запрет. h = 0.
Ещё задачи
Воронка r = 5 см, h = 12 см: V = π · 0,0025 · 0,12 / 3 ≈ 3,1·10⁻⁴ м³ ≈ 0,31 л. Не берите длину стенки 13 см как h: √(12²+5²)=13 — образующая.
Конус мороженого r = 2,5 см, h = 10 см ≈ 65 см³ «рожка» без шарика сверху. Шарик — шар.
Куча щебня: окружность основания 12 м → r ≈ 1,91 м, высота 1,2 м, V ≈ 4,6 м³. Реальная куча не идеальный конус.
Цилиндр r = 1, h = 3: V = 3π, конус π, отношение 3. Проверка «на глаз» стаканом и воронкой.
Обратный ход: объём 1 л, r = 0,05 м → h = 3·0,001 / (π · 0,0025) ≈ 0,38 м. Высокая узкая воронка.
Пирамида с квадратом π? Нет: не подгоняйте π к квадрату. Квадратное основание — страница пирамиды, A = a².
Усечённый конус (ведро) — не эта формула. Нужны два радиуса; отдельная постановка позже. Оценка «как полный конус минус маленький» возможна вручную, если известны оба.
Пифагор: l² = r² + h². Если дали l и r, найдите h на Пифагоре, затем вернитесь сюда. Не пишите V = π r² l / 3.
Двойной конус (песочные часы) — сумма двух V. Если равны, 2 · π r² h / 3.
Вписать конус в цилиндр: те же r, h, треть объёма. Описать конус вокруг цилиндра — уже другие r, h.
Единицы: r = 3, h = 9 в см → 27π см³. В метрах те же цифры — 27π м³, комната.
Не делите цилиндр на 2 «потому что острый». Коэффициент ровно 1/3 для любого острого и тупого при тех же r, h; тупой конус с широким основанием всё равно 1/3.
Кулёк семечек: конус r=4 см, h=15 см ≈ 0,25 л. Смятый кулёк — не прямой конус, оценка сверху, если мерили по самому широкому венцу.
Вулкан «конус» в задачнике: основание километры, высота сотни метров. Не ставьте образующую склона 800 м как h, если по карте высота 400 м: склон длиннее высоты.
Фильтр кофе: конус без вершины (усечённый). Полный конус завысит. Либо два конуса (большой минус маленький), либо страница усечённого конуса, когда она появится.
Обратный ход: объём 2 л, h=0,2 м → r=√(3·0,002/(π·0,2))≈0,098 м. Воронка почти 20 см в диаметре при высоте 20 см — широкий конус, образующая √(20²+9,8²)≈22 см.
Мороженое «шар на конусе»: складывайте объёмы, не усредняйте радиусы. Шарик r=2,5 см и рожок r=2,5 h=10: шар ≈65 см³, рожок ≈65 см³, вместе ≈130, не «средний конус».
Пирамида с шестиугольником не становится конусом от «почти круга». Если дали площадь шестиугольника, идите на страницу пирамиды. π появится только если основание — круг.
Школа и воронки
В учебнике конус рядом с цилиндром одной высоты и основания: три конуса заполняют цилиндр. Опыт с крупой убедительнее заучивания. Если крупа не влезла в три воронки — мерили образующую вместо высоты.
Сечение конуса вдоль оси — равнобедренный треугольник с высотой h и основанием 2r. Объём не площадь этого треугольника, умноженная «на что-то на глаз»: только π r² h / 3.
Конус в кубе: разные вписывания дают разные r и h. Не берите ребро куба одновременно и как h, и как 2r, пока чертёж это не подтверждает. Проверьте, стоит ли конус основанием на грани куба.
Песочные часы: два конуса. Если перемычка не точка, это два усечённых. Школьные часы «к точке» — сумма двух V. Симметричные с h каждый 5 см и r=3 см: 2 · π · 9 · 5 / 3 = 30π см³.
Не путайте конус с пирамидой на чертеже «многоугольное дно, скруглённое от неаккуратности». Если сторон много и в условии круг — конус. Если явно шестиугольник — пирамида и площадь многоугольника.
Вода в конической колбе до высоты x < h: подобный конус, коэффициент (x/h)³ к полному объёму, не (x/h). Линейная риска «наполовину по высоте» — это 1/8 объёма, не половина. Калькулятор считает полный конус до вершины.
Типичные ошибки
- Подставить образующую вместо высоты.
- Забыть деление на 3.
- Взять диаметр как радиус.
- Считать боковую πrl объёмом.
- Смешать см и м.
Соседи: цилиндр, пирамида, круг, шар.
Частые вопросы
- Какая формула объёма конуса?
- V = π r² h / 3. Высота — перпендикуляр из вершины к плоскости основания.
- Почему 1/3?
- Конус занимает треть цилиндра с теми же основанием и высотой.
- Образующая вместо высоты?
- Нет. Наклонное ребро l длиннее h. Сначала h, если дали l и r: h = √(l² − r²) по Пифагору, потом объём.
- Пирамида?
- V = A h / 3 — любое основание площадью A. У конуса A = π r² уже внутри формулы.
- Как найти r?
- r = √(3V / (π h)).
- Высота 0?
- Запрещена.