Развёртка боковой стенки
Срежьте цилиндр вдоль образующей и разверните: прямоугольник шириной длины окружности и высотой h. Площадь S = 2π r h. Хаб: стереометрия.
Тест: r = 1, h = 1 → 2π.
S = 2π r h
S = 2 π r h
Этикетка банки — как раз боковая, если не заходит на крышку. Крышка — π r².
При h = 2r боковая равна площади сферы того же r: 4π r². Совпадение Архимеда, не повод путать страницы.
Не полная поверхность и не объём
Объём π r² h. Сфера 4π r². Конус треть цилиндра — про объём, не про эту развёртку.
Как пользоваться
Выберите искомую величину, введите остальные. Длины согласуйте: см с см, м с м, либо переключайте единицы. Раздел: стереометрия.
Примеры
Прямая. r = 1, h = 1 → 2π.
Радиус. S = 2π, h = 1 → 1.
Высота. S = 2π, r = 1 → 1.
Запрет. h = 0.
Ещё задачи
Банка r = 4 см, h = 12 см: S = 2π · 0,04 · 0,12 ≈ 0,030 м² ≈ 300 см² этикетки. Плюс нахлёст 5 мм по окружности — добавьте вручную.
Труба покрасить снаружи: внешний радиус. Изнутри — внутренний. Два слоя — две разные S, если толщина стенки заметна.
Не умножайте π r² на h и не называйте это боковой: это объём. Размерность выдаст кубометры.
Полная жесть бака: боковая + дно + крышка. Для r = 0,3, h = 0,7: боковая 2π·0,3·0,7 ≈ 1,32, два круга 2π·0,09 ≈ 0,57, всего ≈ 1,89 м².
Обратный ход: этикетка 0,03 м², h = 0,12 → r = 0,03 / (2π · 0,12) ≈ 0,04 м.
Рулон обоев на колонну: ширина рулона должна покрыть h, длина — 2π r плюс стык. Калькулятор даёт площадь, не раскрой рулона.
Конус развёртка — сектор круга, не прямоугольник. Не применяйте 2π r h к конусу.
Эллиптическая колонна: окружность не 2π r. Формула только для круга.
Сетка цилиндра в тетради: прямоугольник и два круга. Площадь прямоугольника — эта страница; круги — площадь круга.
Стакан без дна (обечайка): только боковая. Стакан с дном без крышки: + один круг, не два.
Сравнение с кубом: развёртка куба — шесть квадратов, цилиндра — прямоугольник плюс круги. Не считать «4 стены» цилиндра как 4 r h: стенка одна круговая.
Единицы: r = 10 см, h = 10 см → 200π см². В метрах те же числа дадут 200π м² — фасад здания.
Колонна r=0,25 м, h=4 м: S=2π·0,25·4=2π ≈ 6,28 м² штукатурки. Капитель и база — не цилиндр, их считают отдельно или школьно игнорируют.
Термос: наружная боковая плюс внутренняя боковая, два цилиндра разных r. Формула один раз — один радиус. Вакуумная стенка: разность не боковых площадей, а объёмов, это другая страница.
Этикетка «на конус» не 2π r h. Конус сужается. Банка с лёгкой конусностью в школе всё равно цилиндр, если сказано «цилиндр».
Обратный ход: лист 1 м × 0,4 м сворачивают в обечайку. Если 1 м — окружность, r=1/(2π)≈0,159 м, h=0,4, S=0,4 м² — площадь листа. Шов съест миллиметры длины окружности.
Не красьте «четыре стороны колонны как у бруса». У круглой колонны сторона одна. Оценка 4·d·h завысит: 4d h = 8 r h, а нужно 2π r h ≈ 6,28 r h, меньше «четырёх стен квадрата».
Труба снаружи и внутри: две боковые. Для r_внеш=0,11 и r_внутр=0,10, h=6: 2π h (0,11+0,10)=2,51 м² металла с двух сторон длины. Толщина торцов кольца — ещё площадь кольца, не эта формула.
Школа и этикетка
Прямоугольник этикетки: одна сторона — высота банки, вторая — длина окружности плюс нахлёст. Площадь этикетки чуть больше 2π r h. Калькулятор без нахлёста. Нахлёст 5 мм при окружности 25 см — плюс 2% длины, не площади круга.
Развёртка в контрольной: нарисуйте прямоугольник и подпишите 2πr и h. Не подписывайте π r² на прямоугольнике — это основание, его рисуют кругом отдельно.
Колонка отопления: красят боковую и часто верхнее кольцо, низ стоит на полу. Полная «видимая» не равна ни боковой, ни полной поверхности закрытого цилиндра. Уточните у условия, что включено.
Труба теплоизоляции: площадь наружной оболочки 2π R h, где R уже с изоляцией. Внутренняя труба 2π r h меньше. Материал изоляции кроят по наружной, не по средней.
Сетка «цилиндр из листа»: если лист квадратный a×a, можно свернуть так, что h=a и 2π r=a, тогда r=a/(2π), боковая как раз a². Совпадение площади листа и боковой полное, оснований нет — обечайка без крышек.
Дымовая труба: красят снаружи 2π R h, изнутри 2π r h, плюс оголовок. Высота h — вдоль оси, не по склону холма, на котором стоит труба. Наклон трубы в школе редкость, берут вертикаль.
Лабораторный стакан без носика близко к цилиндру: этикетка 2π r h. Носик добавляет кромку, не площадь стенки по формуле. Школьно носик игнорируют.
Типичные ошибки
- Принять боковую за объём.
- Добавить два круга, хотя нужна только стенка.
- Взять диаметр вместо радиуса.
- Применить формулу к конусу.
- Смешать см² и м².
Соседи: объём цилиндра, длина окружности, площадь круга.
Частые вопросы
- Что такое боковая поверхность цилиндра?
- Площадь «стенки» без кругов-оснований: S = 2π r h. Развёртка — прямоугольник 2πr на h.
- Полная поверхность?
- Боковая плюс два круга: 2π r h + 2π r². Эта страница круги не добавляет.
- Объём?
- π r² h — кубометры. Боковая — квадратные метры.
- Откуда 2π r?
- Длина окружности основания — сторона прямоугольника развёртки.
- Как найти h?
- h = S / (2π r). Нулевой радиус запрещён.
- Высота 0?
- Запрещена.