Оболочка шара
Сфера — поверхность шара. Площадь S = 4π r². Хаб: стереометрия.
Тест: r = 3 → 36π. r = 1 → 4π. При r = 3 объём тоже 36π, но это совпадение единиц не делает их одной величиной.
S = 4π r²
S = 4 π r²
Развёртка сферы без искажений на плоскость невозможна (как карта мира). Формула даёт площадь в пространстве, не выкройку без складок.
Боковая цилиндра 2π r h при h = 2r равна 4π r² — совпадает со сферой описанного цилиндра, снова Архимед.
Не объём и не один круг
Объём 4/3 π r³. Круг π r². Куб 6a² — грани, не кривая оболочка.
Как пользоваться
Выберите искомую величину, введите остальные. Длины согласуйте: см с см, м с м, либо переключайте единицы. Раздел: стереометрия.
Примеры
Прямая. r = 3 → 36π.
Радиус. S = 36π → 3.
Единица. r = 1 → 4π.
Запрет. r = 0.
Ещё задачи
Глобус r = 0,15 м: S = 4π · 0,0225 ≈ 0,283 м². Карта «развернуть глобус» займёт больше бумаги из‑за искажений проекции — формула не врёт про площадь в 3D.
Мяч r = 0,11 м: S ≈ 0,152 м² покрышки. Швы и ниппель формула не знает.
Капля «как сфера» r = 1 мм: S = 4π · 10⁻⁶ ≈ 1,26·10⁻⁵ м². Для поверхностного натяжения нужна длина контура или эта площадь в других задачах — не путать с F = σL.
Удвоили r — площадь вчетверо, как у круга. Объём — ввосьмеро. Краски на «мяч в два раза шире» нужно в четыре раза больше, воздуха внутри — в восемь.
Обратный ход: нужно покрыть 1 м² сферически → r = √(1/(4π)) ≈ 0,282 м, диаметр ≈ 56 см.
Полусфера срез: кривая часть 2π r², плюс круг основания π r², всего 3π r² для «чаши с дном». Калькулятор полной сферы 4π r²; для полусферы без дна берите половину.
Земля r ≈ 6371 км: S ≈ 5,1·10⁸ км² — порядок «пятьсот миллионов». Калькулятор в метрах: r = 6,371·10⁶ м.
Не пишите 4π r³: куб радиуса — объём. Не пишите 4 r² без π.
Сравнение с кубом, в который вписана сфера: ребро куба 2r, поверхность куба 6·4 r² = 24 r², сфера 4π r² ≈ 12,6 r² — меньше, как и должно быть у вписанного тела.
Антенный сферический купол: площадь обшивки 4π r², если полный шар; обычно сегмент — меньше, и эта страница завысит.
Ёлочный шар блестящий с двух сторон плёнки: геометрическая S один раз; если клеят плёнку внутри и снаружи — умножьте на два вручную.
Цилиндр объём сюда не подставляйте. Длина экватора 2πr — проверка радиуса, не площадь.
Спутниковая тарелка — сегмент сферы, не полная 4π r². Если радиус кривизны 1 м и тарелка «почти плоская», площадь близка к кругу π R² раскрыва, не к полной сфере. Не берите 4π, когда дан только купол.
Мыльный пузырь имеет две поверхности (внутри и снаружи плёнки). Геометрическая сфера одна: S=4π r². Для «плёнки с двух сторон» умножьте на два, если задача явно про обе стороны.
Теннисный мяч с ворсом: геометрическая S по среднему радиусу. Ворс увеличивает «шершавую» площадь, формула гладкой сферы этого не знает.
Обратный ход: нужно 2 м² сферической оболочки → r=√(2/(4π))≈0,399 м. Диаметр почти 80 см. Если заказать «шар метр в диаметре», S=π ≈ 3,14 м², не 2.
Сравнение с боковой цилиндра: банка h=2r «охватывает» шар, боковая 4π r² совпадает со сферой. Крышки банки — ещё 2π r², полная банка 6π r², больше сферы. Архимед: сфера равновелика боковой описанного цилиндра.
Карта мира в проекции Меркатора сильно растягивает полюса: клетка Гренландии больше истинной доли 4π r². Площадь планеты всё равно 4π r², проекция врёт, формула нет.
Школа и четыре круга
Фраза «сфера равна четырём большим кругам» помогает не забыть четвёрку. Один экваториальный диск π r², четыре — 4π r². Это мнемоника, не инструкция «вырезать четыре круга и склеить без морщин»: без морщин сферу на плоскость не развернуть.
Глобус и карта: площадь материков на сфере — доли от 4π r². На карте Меркатора доли другие. География спорит с проекцией, не с формулой.
Покраска полусферического купола без дна: 2π r². С дном-полом: 3π r². Полная сфера 4π r². Назовите, что красите, до подстановки.
Футбольный мяч сшит из многоугольников, не из гладкой сферы, но для оценки камеры r по формуле 4π r² берут «как шар». Швы добавляют доли процента, школьно ими пренебрегают.
Зеркальная ёлочная сфера отражает комнату: площадь отражающего слоя всё равно 4π r², если слой покрывает весь шар. Дырка под нитку вычитается как малый круг, не как «проценты на глаз».
Антенный колпак радиуса кривизны 0,8 м закрывает не весь шар: доля сферы ω/4π. Без телесного угла школьно берут полную 4π r² только если сказано «вся сфера». Купол «полусфера» — половина.
Сравнение с кубом окраски: куб ребра 2r (описанный) имеет 24 r², сфера 4π r² ≈ 12,57 r². Вписанная в куб сфера красится примерно вдвое меньше полной поверхности куба.
Типичные ошибки
- Считать 4/3 π r³ площадью.
- Взять один круг π r².
- Подставить диаметр в r.
- Забыть π.
- Смешать км² и м².
Соседи: объём шара, круг, окружность, боковая цилиндра.
Частые вопросы
- Какая формула площади сферы?
- S = 4π r² — четыре площади большого круга.
- Это объём шара?
- V = 4/3 π r³ — внутри. Оболочка в квадратных метрах.
- Связь с кругом?
- π r² — один большой круг. Сфера — четыре таких.
- Экватор?
- C = 2π r — длина, не площадь.
- Как найти радиус?
- r = √(S / (4π)).
- Радиус 0?
- Запрещён.