Шар по радиусу
Шар — тело всех точек на расстоянии не больше r от центра. Объём V = 4/3 π r³. Хаб: стереометрия.
Тест: r = 3 → V = 36π. r = 1 → 4/3 π.
V = 4/3 π r³
V = (4/3) π r³
Диаметр d = 2r, тогда V = π d³ / 6. Калькулятор принимает радиус. Земной «радиус ~6400 км» — не диаметр.
Не круг πr² и не сфера 4πr²
Куб a³ без π. Конус π r² h / 3 требует высоту.
Не умножайте площадь круга на «диаметр как высоту» вместо 4/3: получите цилиндр, не шар.
Как пользоваться
Выберите искомую величину, введите остальные. Длины согласуйте: см с см, м с м, либо переключайте единицы. Раздел: стереометрия.
Примеры
Прямая. r = 3 → 36π.
Радиус. V = 36π → 3.
Единица. r = 1 → 4/3 π.
Запрет. r = 0.
Ещё задачи
Мяч диаметром 22 см: r = 0,11 м, V = 4/3 π · 0,001331 ≈ 0,0056 м³ ≈ 5,6 л воздуха при полной «геометрии», без толщины покрышки. Реальный внутренний объём меньше.
Апельсин «как шар» d = 8 см, r = 4 см = 0,04 м, V ≈ 2,68·10⁻⁴ м³ ≈ 0,27 л. Дольки — не шар, оценка сверху.
Ёлочный шар r = 4 см и куб ребром 8 см: куб 512 см³, шар 268 см³, шар занимает нишу куба не полностью.
Бассейн «полусфера» радиуса 2 м: половина 4/3 π · 8 / 2 = 16π/3 ≈ 16,8 м³. Калькулятор считает полный шар — разделите на два сами, если задача про чашу.
Удвоение радиуса увеличивает объём в 8 раз: мыльный пузырь «в два раза шире» держит в восемь раз больше воздуха.
Обратный ход: объём 1 л = 0,001 м³, r = ³√(3·0,001/(4π)) ≈ 0,062 м ≈ 6,2 см. Шар диаметром ~12 см.
Планета как шар: не путайте средний радиус с экваториальным. Калькулятор один r, без сжатия у полюсов.
Снежок: не идеальный шар, школьный ответ всё равно 4/3 π r³ по «характерному» радиусу.
Сравнение с цилиндром высоты 2r: «консервная банка», в которую вписан шар. Объём банки 2π r³, шара 4/3 π r³. Отношение объёмов 3/2 — классика Архимеда.
Не берите 4π r³ без трети: это размерность объёма, но коэффициент неверный (это скорее 3V/r как площадь? нет: 4π r² — площадь). Держите 4/3.
Лёд в стакане: несколько шариков объёмы складываются. Десять шариков r = 1 см: 10 · 4/3 π ≈ 42 см³.
Конус с r = h: V = π r³ / 3, шар 4π r³ / 3, шар больше такого конуса в 4 раза.
Воздушный шар «сфера» диаметром 10 м: r=5, V=500π/3 ≈ 523 м³ гелия порядка. Реальная оболочка — сегмент плюс гондола, школьно всё равно 4/3 π r³, если сказано «шар».
Шарик фольги для бильярда r=28,5 мм: V≈9,7·10⁻⁵ м³. Свинец такой шара тяжёлый: масса ρV. Плотность снова соседняя страница, сюда не тащите граммы в формулу радиуса.
Луна как шар r≈1737 км. Не ставьте 1737 в метры без 1000: получите лужу, не спутник. r = 1,737·10⁶ м, V порядка 2,2·10¹⁹ м³.
Половинка арбуза — не 2/3 π r³ «потому что полукруг на картинке». Полушар объём 2/3 π r³, да: половина от 4/3. Картинка круга обманчива: круг — сечение, не половина объёма «на глаз по площади».
Обратный ход: цистерна-шар 20 м³, r = ³√(15/π) ≈ 1,68 м, диаметр ≈ 3,36 м. Проверьте, влезет ли в ангар по высоте 3,5 м — с опорами может не влезть, хотя формула чистая.
Пузырьки в тесте: десять мелких шариков r=1 мм дают суммарно 10·4/3 π мм³ ≈ 42 мм³. Один шарик того же суммарного объёма имел бы r=³√10 ≈ 2,15 мм. Много мелких — больше поверхности, не объёма: объём сложился, площадь сфер нет на этой странице.
Школа и 4/3
Откуда 4/3: интеграл или сравнение с цилиндром и конусами по Архимеду. Для зачёта достаточно помнить коэффициент и куб радиуса. π не «3,14 всегда»: калькулятор берёт полный π, обратный ход тогда сходится с прямой.
Диаметр в условии обводят дважды: школьники подставляют 2r в r и получают объём в 8 раз больше. Проверка порядком: шар диаметром 2 м не может иметь 32 м³ с лишним, если куб 2 м — это 8 м³, шар меньше куба.
Полый шар: 4/3 π (R³ − r³). Два вызова калькулятора. Тонкая оболочка ≈ S·толщина = 4π R² · t, это уже приближение поверхности, не эта страница.
Капля росы «шар» на листе на самом деле сегмент. Школьная оценка 4/3 π r³ завышает, если капля плоская. Берите формулу, только когда условие говорит «шар» или «сферическая капля в невесомости».
Снежок слепили из куба снега ребром 10 см (1 л). Если получился шар, r = ³√(3/4π) ≈ 6,2 см, диаметр ≈ 12,4 см, больше ребра куба: шар занимает место иначе, объём тот же.
Бассейн «шар на ножке» в парке: считают полный шар, если чаша почти сфера. Порезанный сегмент сверху уменьшает V. Школьно полный шар, если в тексте нет слова «сегмент» или «поясок».
Типичные ошибки
- Подставить диаметр как радиус.
- Взять π r² вместо 4/3 π r³.
- Взять квадратный корень при поиске r.
- Забыть 4/3.
- Смешать см и м.
Соседи: площадь сферы, круг, цилиндр, куб.
Частые вопросы
- Какая формула объёма шара?
- V = 4/3 π r³. Нужен радиус, не диаметр: диаметр сначала разделите на два.
- Это площадь круга?
- A = π r² — плоский диск, сечение шара. Объём — куб радиуса, не квадрат.
- Площадь сферы?
- S = 4π r² — оболочка. При r = 3 и объём, и площадь численно 36π, но единицы разные.
- Цилиндр и шар?
- Цилиндр π r² h при h = 2r (описанный) имеет объём 2π r³, шар — 4/3 π r³, отношение 3:2.
- Радиус 0?
- Запрещён.
- Как найти радиус?
- r = ³√(3V / (4π)). Квадратный корень здесь не подходит.