Пирамида с любым основанием
Пирамида: многоугольник в основании и треугольные боковые грани к одной вершине. Объём V = A h / 3 независимо от числа сторон основания. Хаб: стереометрия.
Тест: A = 6 м², h = 2 м → V = 4 м³.
V = ⅓ A h
V = A h / 3
A возьмите с плоскости: прямоугольник, треугольник, квадрат. Высота не обязана падать в центр, но должна быть перпендикулярна плоскости основания (в том числе у наклонной пирамиды объём тот же A h / 3).
Коробка с тем же основанием: втрое больше при той же h.
Не конус πr²h/3 и не призма Ah
Конус π r² h / 3 уже содержит круг. Куб a³ — призма, не пирамида: не делите куб на три без нужды (хотя куб режется на пирамиды в других задачах).
Площадь боковых треугольников в V не входит. Это поверхность, которой на этой странице нет.
Как пользоваться
Выберите искомую величину, введите остальные. Длины согласуйте: см с см, м с м, либо переключайте единицы. Раздел: стереометрия.
Примеры
Прямая. A = 6, h = 2 → 4.
Основание. V = 4, h = 2 → A = 6.
Высота. V = 4, A = 6 → 2.
Запрет. h = 0.
Ещё задачи
Египетская «учебная» пирамида: основание 200×200 м, A = 40 000 м², h = 140 м, V ≈ 1,87·10⁶ м³. Реальный Хеопс чуть иначе, но порядок тот же. Не умножайте 200·200·140 без трети.
Крыша-шатёр: основание 6×6, высота 4, A = 36, V = 48 м³ воздуха под шатром. Чердак с коньком — часто призма плюс две пирамиды или две призмы, не одна пирамида.
Треугольное основание 3-4-5: площадь 6, уже в тесте. Высота 2 → объём 4. Площадь 3-4-5 сначала основание на высоту или Герон.
Конус vs пирамида: круг A = π, h = 3, конус π, пирамида с A = π дала бы то же. Если A = 3,14 «на глаз», ошибка в π накопится.
Обратный ход: объём 12 м³, основание 9 м² → h = 4 м. Проверка 9·4/3 = 12.
Наклонная пирамида: вершина не над центром, объём всё равно A h / 3, где h — перпендикуляр, не наклонное ребро к вершине.
Усечённая пирамида — не ⅓ A h с одним основанием. Нужны два основания; не эта страница.
Четыре пирамиды из центра куба на грани: каждая V = a³ / 6? Основание a², высота a/2, V = a² · (a/2) / 3 = a³ / 6, шесть граней дали бы a³, да: куб складывается из 6 таких пирамид. Проверка формулы.
Не складывайте площади боковых граней в A. A — только основание.
Палатка-пирамида 2×2 м, высота 1,5: A = 4, V = 2 м³. Тесно двум спальникам, геометрия честная.
Единицы: A в м², h в м, V в м³. A = 600 см² = 0,06 м², h = 20 см = 0,2 м, V = 0,004 м³ = 4 л.
Призма с тем же A и h была бы 12 при тесте 6 и 2. Пирамида 4. Отношение ровно 3, не «примерно вдвое».
Макет пирамиды из картона: сначала площадь дна на плоскости, потом высота модели от стола до вершины, не длина ребра грани. Ребро грани длиннее h.
Чердак «на два ската» — треугольная призма, V = A_торца · длину дома, без 1/3. Шатровый чердак с четырьмя скатами к одной точке — пирамида, с 1/3. Путать крыши — типичная смета «втрое мимо».
Тетраэдр — пирамида с треугольным основанием. A из Герона или ½ah, затем /3 с высотой тетраэдра. Правильный тетраэдр ребра a имеет известную V = a³ √2 / 12, это частный случай, не общая кнопка калькулятора.
Обратный ход: нужно 30 м³ насыпи-пирамиды, основание 5×6=30 м² → h = 3 м ровно. Удобный тест: A h = 90, треть — 30.
Наклонная стопка песка у стены: если вершина не над центром, всё равно A h / 3 с перпендикулярной h. Не берите длину склона. Стена отрезает часть — тогда это уже не полная пирамида.
Сравнение с конусом: впишите круг в квадрат основания a×a, r=a/2. Конус V=π a² h / 12, пирамида a² h / 3 = 4 a² h / 12. Пирамида больше вписанного конуса в 4/π ≈ 1,27 раза. Не равны.
Школа и ⅓
Три пирамиды с основанием-гранью параллелепипеда заполняют его в некоторых разрезах; школьная память «всегда треть призмы» верна при том же основании и той же высоте. Призма V = A h, пирамида A h / 3.
ЕГЭ любит основание-ромб или треугольник: сначала площадь на плоскости, потом треть. Не умножайте три стороны основания — это не A. Ромб d1 d2 / 2, треугольник Герон или ½ a h.
Макет из соломы: рёбра видны, высоты нет. Опустите отвес из вершины на плоскость стола. Если основание не на столе, измерьте перпендикуляр до плоскости картонного дна, не до ближайшего ребра.
Четыре треугольные грани правильного тетраэдра все могут быть «основанием»: объём один и тот же. Перепутав, какую грань назвали основанием, h пересчитайте к этой грани, A тоже, произведение A h не изменится.
Типичные ошибки
- Забыть деление на 3.
- Подставить периметр основания вместо площади.
- Взять наклонное ребро как высоту.
- Считать боковые грани основанием.
- Смешать см² и м².
Соседи: конус, параллелепипед, треугольник, прямоугольник, куб.
Частые вопросы
- Какая формула объёма пирамиды?
- V = A h / 3. A — площадь основания, h — высота к этой плоскости.
- Основание должно быть квадратом?
- Нет. Треугольник, квадрат, многоугольник — лишь бы знать A. Квадрат a², прямоугольник ab, треугольник ah/2 считаются заранее.
- Конус — пирамида?
- Предельный случай круглого основания: A = π r² даёт π r² h / 3. Здесь π нет, пока вы сами не внесли его в A.
- Призма?
- Призма (и коробка) V = A h без трети. Пирамида сходится в точку.
- Как найти высоту?
- h = 3V / A. Нулевая площадь основания запрещена.
- Высота 0?
- Запрещена.