Что значит y = k / x
Обратная пропорциональность: зависимая величина обратно пропорциональна x, y = k / x. Эквивалентная запись xy = k: все пары лежат на гиперболе с постоянным произведением. Калькулятор находит y, k или x.
Раздел: алгебра. Прямая связь — y = kx. Четыре члена — пропорция. Отношение двух чисел — a/b. Линейное уравнение — ax + b = c.
Тест: k = 12, x = 3 → y = 4. Обратный ход k = 4·3 = 12. x = 0 при поиске y — ошибка. Удвоение x до 6 даёт y = 2: вдвое меньше, сумма x + y не постоянна, постоянно произведение.
Школьный образ: время работы при постоянном объёме дела обратно скорости; давление и объём в простейшей изотерме — тоже обратная связь. Единицы на этой странице не переводятся: только числа k, x, y.
Произведение xy = k
y = k / x
Прямой ход делит k на x. Обратный ход по k — произведение. По x: x = k / y при y ≠ 0. Симметрия x и y: если y обратно x, то x обратно y с тем же k.
Знак: при k > 0 величины одного знака (первая и третья четверти). При k < 0 — разные знаки (вторая и четвёртая). Нулевой k даёт y = 0 при любом x ≠ 0: вырожденный случай «всё нули по y», не классическая гипербола школьного чертежа.
Сравните с y = kx: там делить на x нужно, чтобы найти k, но сам y при x = 0 существует и равен 0. Здесь x = 0 выколот всегда.
Гипербола, не прямая
График y = k/x не проходит через начало и не является прямой. Оси — асимптоты: при большом |x| величина |y| мала, при малом |x| — велика. Путать с прямой y = kx — главная геометрическая ошибка темы.
Точки (3; 4) и (6; 2) при k = 12 обе на одной ветви. Точка (0; 0) не принадлежит графику. Прямая пропорциональность как раз содержит (0; 0) и не содержит «уход на бесконечность» при x → 0.
Почему x не может быть нулём
Деление на ноль запрещено. Тест с x = 0 ожидает ошибку. То же для поиска x при y = 0 и ненулевом k: k / 0. Если задача получила x = 0 после преобразований, это не обратная пропорциональность, а другая модель.
Близкое к нулю x даёт огромный |y| — это ожидаемо, не ошибка. Нуль — дырка, не «очень большое число в ответе».
Как пользоваться
Для y нужны k и x ≠ 0. Для k — оба ненулевых x и y в обычной задаче (произведение определено и при нуле одного из них, но тогда k = 0). Для x — k и y ≠ 0.
Проверка второй точкой: произведение должно совпасть. Если не совпало — это не одна обратная пропорциональность.
Примеры
Базовый. k = 12, x = 3 → y = 4. Проверка 3·4 = 12.
Коэффициент. y = 4, x = 3 → k = 12.
Другая точка. k = 12, x = 6 → y = 2. Произведение снова 12.
Запрет нуля. k = 12, x = 0 — нет y.
Отрицательный k. k = −12, x = 3 → y = −4. Произведение −12.
Пропорция. 3/6 = 2/4 не про эту формулу. Для обратной пары сравнивают 3·4 и 6·2. Четыре числа с постоянным произведением пар — см. также пропорцию после перестановки.
Контраст с прямой. При k_прям = 3 значения при x = 3 и x = 6 суть 9 и 18 — растут. Здесь при k = 12 те же x дают 4 и 2 — падают.
Таблица пар. k = 24: (2; 12), (3; 8), (4; 6), (6; 4), (8; 3), (12; 2). Произведение всегда 24. Отношение y/x при этом меняется: 6, затем 8/3, затем 1,5 — значит это не прямая пропорциональность.
Работа и время. Если объём работы постоянен, время обратно скорости: k — «объём», x — скорость, y — время. Удвоение скорости режет время вдвое, не вычитает константу. Единицы снова задаёт задача, калькулятор делит числа.
Близко к нулю. k = 12, x = 0,01 → y = 1200. Малый x раздувает y. Это не ошибка деления и не «бесконечность»: бесконечность только в пределе x → 0, а ноль калькулятор отвергает целиком.
Связь с пропорцией. Из x₁ y₁ = x₂ y₂ следует x₁ / x₂ = y₂ / y₁ — пропорция «крест-накрест» после перестановки. Искать одно из четырёх чисел можно и здесь (через k), и на странице пропорции. Не смешивайте с a/b = c/d, где постоянны отношения, не произведения пар.
Не прямая пропорциональность
Прямая y = kx: отношение постоянно. Обратная: произведение постоянно. Показательная y = a bˣ — третий закон изменения. Логарифм не делит k на x.
Линейное неравенство и система 2×2 — про знаки и пересечение прямых, не про гиперболу xy = k.
Типичные ошибки
- Писать y = k − x или y = k x и называть это обратной связью.
- Считать k = y / x, как в прямой пропорциональности.
- Ставить x = 0 и ждать y = 0 «потому что в прямой так».
- Рисовать прямую через ноль для y = k/x.
- Путать с отношением a/b без постоянного произведения пар.
Частые вопросы
- Что такое обратная пропорциональность?
- Связь y = k / x: произведение x y постоянно и равно k. Во сколько раз вырос x, во столько раз уменьшился y.
- Как найти k?
- k = x y. Для y = 4, x = 3 получите k = 12. Тогда y = 12 / x для других x ≠ 0.
- Почему нельзя делить на x = 0?
- y = k / 0 не определено. Вертикальной асимптоты график не пересекает. Калькулятор останавливается.
- Чем отличается прямая пропорциональность?
- y = k x держит отношение y/x, график — прямая через начало. Здесь постоянно произведение, график — гипербола.
- Это пропорция?
- Пары (x₁, y₁) и (x₂, y₂) при том же k связаны x₁ y₁ = x₂ y₂, что можно записать пропорцией. Искать член четырёх чисел удобно на странице пропорции.
- Связано ли это с логарифмом?
- Не напрямую. Логарифм ищет показатель степени. Обратная пропорциональность — деление константы на x.