Частное двух дробей
Калькулятор делит обыкновенную дробь a/b на c/d: умножает на обратную d/c и сокращает. Раздел: арифметика.
Смысл: сколько раз c/d помещается в a/b. 1/2 : 1/4 = 2 — две четверти в половине. Не деление целых с остатком и не одно отношение a/b без второй дроби.
Тест: 1/2 : 1/4 = 2/1. Второй: 3/4 : 5/8 = 6/5. Нулевой числитель делителя — ошибка.
Умножение на обратную
a/b : c/d = (ad)/(bc)
Обратная к c/d — d/c при c ≠ 0. Деление «переворачивает вторую и умножает». Дальше как на странице умножения.
Можно записать (a/b) / (c/d) = (a/b) · (d/c). Двоеточие в школе то же самое, что черта между дробями.
Целое в роли делителя: 3/4 : 2 = 3/4 : 2/1 = 3/8. Делимое целое: 2 : 1/4 = 8 — «сколько четвертей в двойке».
Нулевой делитель
c = 0 даёт нулевую дробь 0/d. На ноль не делят. Знаменатель d = 0 ломает уже запись делителя. Знаменатель делимого b = 0 ломает делимое. Все три нуля калькулятор ловит.
Делимое 0/b при b ≠ 0 даёт 0, если делитель ненулевой: ноль на что угодно ненулевое — ноль.
Как пользоваться
Четыре целых: делимое a/b, делитель c/d. Ответ p/q. Проверка умножением: (p/q) · (c/d) должно дать a/b.
Примеры
Базовый. 1/2 : 1/4 = 2.
Дробный ответ. 3/4 : 5/8 = 24/20 = 6/5.
На целое. 5/6 : 2 = 5/12.
Целое на дробь. 5 : 1/2 = 10.
Обратные. 2/3 : 3/2 = 4/9.
Запрет. 1/2 : 0/3 — нет частного.
Смешанные. 1 1/2 : 1/4 сначала 3/2, затем 3/2 : 1/4 = 6.
Не сумма. 1/2 + 1/4 = 3/4, частное 2 — разные действия.
Сколько раз помещается. В двух целых пирогах куски по 1/8: 2 : 1/8 = 16 кусков. Формула (2/1)·(8/1) = 16. Если кусок 2/8 = 1/4, получите 2 : 1/4 = 8 — меньше кусков, потому что кусок крупнее.
Проверка умножением. Пусть 5/6 : 2/3 = 5/4. Проверка: 5/4 · 2/3 = 10/12 = 5/6 — вернулись к делимому. Если проверка не сходится, перевернули не ту дробь.
Десятичная сверка. 3/4 = 0,75; 5/8 = 0,625; частное 0,75/0,625 = 1,2 = 6/5. Удобно ловить грубую ошибку, не заменяет точную дробь.
Цепочка. (1/2 : 1/3) : 1/4 = (3/2) : 1/4 = 6. Скобки важны: 1/2 : (1/3 : 1/4) = 1/2 : 4/3 = 3/8. Деление не ассоциативно — как у целых.
Смешанное в делителе. 5 : 1 1/4 = 5 : 5/4 = 4. «Сколько раз полтора-с-четвертью в пятёрке» — четыре. Сначала перевод.
Не сложение и не остаток
Сложение ищет общий знаменатель. Остаток для 17 и 5 даёт 2, не дробь 17/5. Неправильную 17/5 из смешанного смотрите на странице смешанной дроби, не здесь.
Пропорция a/b = c/d находит неизвестный член, не частное двух готовых дробей.
Ещё задачи на деление
2/3 : 4/9 = (2/3)·(9/4) = 18/12 = 3/2. 5/12 : 5/6 = 1/2: пятёрки сократились, 6/12 = 1/2.
8 : 2/5 = 8 · 5/2 = 20. «Восемь разделить на две пятых» — двадцать, не 16/5. 2/5 : 8 = 2/40 = 1/20 — порядок делимого и делителя нельзя менять местами без переворота ответа.
1/6 : 1/6 = 1. Любая ненулевая дробь на себя даёт единицу. 1/6 : 2/6 = 1/2 — знаменатели одинаковые, частное числителей 1/2, и это совпало; не обобщайте без обратной на разные знаменатели.
Смешанные: 2 2/3 : 4/9 = 8/3 : 4/9 = 8/3 · 9/4 = 6. Проверка: 4/9 · 6 = 24/9 = 8/3.
Десятичная ловушка: 0,5 : 0,2 = 2,5, в дробях 1/2 : 1/5 = 5/2. Переводите десятичные в дроби, если так требует точность, или делитесь десятичными отдельно — эта страница про a/b и c/d.
Ещё: 7/9 : 14/15 = 7/9 · 15/14 = 5/6. 9/16 : 3/8 = 9/16 · 8/3 = 3/2. 4/5 : 4/5 = 1. Делимое меньше делителя: 1/8 : 1/2 = 1/4 — частное меньше единицы, и это нормально.
Текстовая: ленту 3/4 м режут на куски 1/12 м. Число кусков 3/4 : 1/12 = 9. Не 3/4 · 1/12 = 1/16 м — это был бы размер «произведения длин», бессмыслица в этой постановке.
Скорость в «задачах на движение» иногда дробная: 3/4 часа ехали, спрашивают сколько четвертей часа — 3. Это 3/4 : 1/4 = 3, не физический калькулятор скорости с км/ч. Другой сюжет: путь 5/6 км и шаги 1/12 км дают 10 шагов. Проверка: 10 · 1/12 = 5/6. Если шаги 1/8 км при том же пути, кусков будет 20/3, уже не целое — дробный ответ законен. Не подменяйте деление умножением длин: 5/6 · 1/12 = 5/72 км — это не число шагов, а длина «произведения», в задаче про куски бессмысленная.
Типичные ошибки
- Перевернуть первую дробь вместо второй.
- Делить «числитель на числитель, знаменатель на знаменатель» без обратной: иногда совпадёт (1/2 : 1/4), часто нет (3/4 : 5/8).
- Путать с умножением.
- Делить на нулевую дробь.
- Искать общий знаменатель «как учили на сумме».
Частые вопросы
- Как разделить дроби a/b : c/d?
- Умножьте делимое на дробь, обратную делителю: (a/b) · (d/c) = (a d)/(b c), затем сократите.
- Почему 1/2 : 1/4 = 2?
- В 1/2 сколько раз помещается 1/4? Два раза. Формула: (1·4)/(2·1) = 4/2 = 2.
- Можно ли делить на 0/3?
- Нет. Нулевая дробь как делитель запрещена, даже если знаменатель ненулевой.
- Нужен ли общий знаменатель?
- Нет. Деление сводится к умножению. Общий знаменатель — для суммы.
- Чем отличается умножение?
- Умножение не переворачивает вторую дробь. 1/2 · 1/4 = 1/8, а частное 2.
- Это остаток от деления?
- Остаток — про целые a = bq + r. Здесь частное двух дробей, снова дробь.